СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 28 мая 2017 Вариант 2

Физико-математическое отделение. Москва. Май 2017 года.
Письменная работа по математике для поступающих в 11 класс
Вариант 2

1. Гончару нужно изготовить несколько чашек и блюдец. Он тратит на формовку одной чашки 20 минут. Известно, что времена формовки одной чашки, формовки двух блюдец и одной чашки, формовки двух чашек и одного блюдца образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Определить время формовки одного блюдца.
2. Назовем натуральное число "сильным", если оно не является ни квадратом, ни кубом натурального числа и не делится на 4 без остатка. Например, число 79 – сильное, а 80 и 81 – нет. Сколько "сильных" чисел от 1 до 1001?
3. В параллелограмме $ABCD$ точка $T$ – середина стороны $AB$. Биссектриса угла $C$ пересекает отрезок $DT$ в точке $O$, а сторону $AD$ в точке $P$. Известно, что площадь четырёхугольника $ATOP$ в семнадцать раз больше площади треугольника $POD$. Найти $AD$, если $CD = 1$.
4. Найдите наименьшее значение выражения \[ \sqrt{4 + (x+5)^2} \;+\; \sqrt{9 + (x-5)^2}. \]
5. При каких значениях параметра $b$ система \[ \begin{cases} x = \lvert x - 2y^2 - 8y \rvert,\\ y = b\,(x - 1) \end{cases} \] имеет ровно 3 решения?

Вариант 2. Ответы

1. 5 мин.
2. 732
3. 4
4. $5\sqrt{5}$
5. $b = -4$

Решения задач

1. Гончару нужно изготовить несколько чашек и блюдец. Он тратит на формовку одной чашки 20 минут. Известно, что времена формовки одной чашки, формовки двух блюдец и одной чашки, формовки двух чашек и одного блюдца образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Определить время формовки одного блюдца.
   Решение: Пусть время формовки одного блюдца — \(x\) минут. Тогда:
   • Первый член: \(t_1 = 20\ \text{мин}\)
   • Второй член: \(t_2 = 20 + 2x\) (чашка + два блюдца)
   • Третий член: \(t_3 = 40 + x\) (две чашки + блюдце)
   По условию \(\{t_1, t_2, t_3\}\) — геометрическая прогрессия: \[ (20 + 2x)^2 = 20 \cdot (40 + x) \] Решаем уравнение: \[ 4x^2 + 80x + 400 = 800 + 20x \implies 4x^2 + 60x - 400 = 0 \implies x^2 + 15x - 100 = 0 \] Корни: \(x = \frac{-15 \pm 25}{2}\). Подходит \(x = 5\).
   Ответ: 5 минут.
2. Назовем натуральное число ``сильным'', если оно не является ни квадратом, ни кубом натурального числа и не делится на 4 без остатка. Сколько ``сильных'' чисел от 1 до 1001?
   Решение:
   • Всего чисел: 1001
   • Исключаем квадраты (31 число), кубы (10), шестые степени (3)
   • Делящиеся на 4: 250 чисел
   • Пересечения: квадраты, делящиеся на 4 (15), кубы, делящиеся на 4 (5), шестые степени и кратные 4 (1)
   По формуле включений-исключений: \[ |A \cup B \cup C| = 31 + 10 + 250 - 3 - 15 - 5 + 1 = 269 \] Сильных чисел: \[ 1001 - 269 = 732 \] Ответ: 732.
3. В параллелограмме \(ABCD\) точка \(T\) — середина стороны \(AB\). Биссектриса угла \(C\) пересекает отрезок \(DT\) в точке \(O\), а сторону \(AD\) в точке \(P\). Известно, что площадь четырёхугольника \(ATOP\) в семнадцать раз больше площади треугольника \(POD\). Найти \(AD\), если \(CD = 1\).
   Решение:
   • Координаты: \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(D(0,x)\), \(T(0.5,0)\), \(C(1,x)\)
   • Биссектриса угла \(C\): параметризация \((1 - t, x - t)\)
   • Точка пересечения \(P(0, x -1)\)
   • Вычисляем координаты \(O\) через пересечение биссектрисы с \(DT\)
   • Площади: \[ S_{\text{ATOP}} = \frac{0.75x - 0.5}{2(x + 0.5)}, \quad S_{\text{POD}} = \frac{0.25}{x + 0.5} \] Соотношение 17:1: \[ \frac{0.75x - 0.5}{2(x + 0.5)} \cdot \frac{x + 0.5}{0.25} = 17 \implies x = 12 \]
   Ответ: 12.
4. Найдите наименьшее значение выражения \[ \sqrt{4 + (x+5)^2} + \sqrt{9 + (x-5)^2}. \] Решение: Интерпретируем как сумму расстояний от точки \((x,0)\) до точек \((-5,2)\) и \((5,3)\). Минимум достигается при отражении точки \((5,3)\) относительно оси \(x\). Длина отрезка: \[ \sqrt{(5 + 5)^2 + (3 + 2)^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = 5\sqrt{5} \] Ответ: \(5\sqrt{5}\).
5. При каких значениях параметра \(b\) система \[ \begin{cases} x = \lvert x - 2y^2 - 8y \rvert,\\ y = b(x - 1) \end{cases} \] имеет ровно 3 решения?
   Решение: Подставляем \(y = b(x - 1)\) в первое уравнение. Анализируем корни уравнений \(A = x\) и \(A = -x\). Решения пересекаются при \(b = 4\), давая три корня: \(x = 0, 1, \frac{17}{16}\).
   Ответ: \(b = 4\).