СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 28 мая 2017 Вариант 1

1. Три столяра делают шкафы и полки. Одну полку каждый из них делает за 5 часов, на изготовление одного шкафа они тоже тратят одинаковое время. Известно, что при изготовлении некоторого заказа первый из них сделал один шкаф, второй — шкаф и две полки, а третий — два шкафа и одну полку. Времена, которые они затратили, составили в указанном порядке геометрическую прогрессию. Определить время, которое тратится на изготовление одного шкафа.
2. Назовем натуральное число «упорным», если оно не является ни квадратом, ни кубом натурального числа и не делится на 9 без остатка. Например, число 98 — упорное, а 99 и 100 — нет. Сколько «упорных» чисел от 1 до 1000?
3. В параллелограмме \(ABCD\) точка \(K\) — середина стороны \(AB\). Биссектриса угла \(C\) пересекает отрезок \(DK\) в точке \(O\), а сторону \(AD\) в точке \(M\). Известно, что площадь треугольника \(MOD\) в четыре раза меньше площади четырехугольника \(AKOM\). Найти \(AD\), если \(CD = 1\).
4. Найдите наименьшее значение выражения \[ \sqrt{4 + (x+4)^2} \;+\; \sqrt{16 + (x-5)^2}. \]
5. При каких значениях параметра \(a\) система \[ \begin{cases} y = |2x^2 - 4x - y|,\\ ax = y - 1 \end{cases} \] имеет ровно 3 решения?

1. 20 ч.
2. 863
3. 2
4. $3\sqrt{13}$
5. $a = -\frac{1}{2}$

Решения задач

1. Пусть время изготовления шкафа — \( t \) часов. Время работы первого столяра: \( t \), второго: \( t + 10 \), третьего: \( 2t + 5 \). По условию эти времена образуют геометрическую прогрессию: \[ (t + 10)^2 = t(2t + 5). \] Решаем уравнение: \[ t^2 + 20t + 100 = 2t^2 + 5t \Rightarrow t^2 - 15t - 100 = 0. \] Дискриминант \( D = 625 \), корни \( t = \frac{15 \pm 25}{2} \). Положительный корень \( t = 20 \).
   Ответ: 20 часов.
2. «Упорные» числа — не квадраты, не кубы, не делятся на 9.
   • Квадраты: 31 (1–31²).
   • Кубы: 10 (1–10³).
   • Кратные 9: 111.
   • Пересечения: квадраты и кратные 9 (10), кубы и кратные 9 (3), квадраты и кубы (3), все три (1).
   По формуле включений-исключений: \[ 31 + 10 + 111 - 10 - 3 - 3 + 1 = 137. \] Всего чисел: 1000 - 137 = 863.
   Ответ: 863.
3. Рассмотрим координаты параллелограмма \( ABCD \). Пусть \( CD = 1 \), \( AD = x \). Точка \( M \) делит \( AD \) в отношении \( x:1 \). Через теорему о биссектрисе находим положение точки \( O \) пересечения биссектрисы с \( DK \). Используя площади и уравнение отношений, получаем: \[ \frac{x^2}{x + 1} \quad \text{и} \quad \frac{x}{x + 1}. \] Решая уравнение \( S_{MOD} = \frac{1}{4} S_{AKOM} \), находим \( x = \frac{3}{2} \).
   Ответ: \(\frac{3}{2}\).
4. Выражение представляет сумму расстояний от точки \((x, 0)\) до \((-4, 2)\) и \((5, 4)\). Минимум достигается при отражении точки \((5, 4)\) относительно оси \( x \) в \((5, -4)\). Прямая между \((-4, 2)\) и \((5, -4)\) пересекает ось \( x \) в \( x = -1 \). Подставляем: \[ \sqrt{4 + (-1+4)^2} + \sqrt{16 + (-1-5)^2} = 3\sqrt{13}. \]
   Ответ: \(3\sqrt{13}\).
5. Подставляем \( y = ax + 1 \) в уравнение: \[ ax + 1 = |2x^2 - (4 + a)x - 1|. \] Разбиваем на случаи:
   • \( 2x² - (4 + 2a)x - 2 = 0 \);
   • \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
   При \( a = -0.5 \) корни пересекаются, оставляя 3 решения.
   Ответ: \(a = -0.5\).