СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2016 год вариант 2

1. Найти наибольшее простое число, которое является делителем числа 67725.
2. Решить уравнение \[ x\lvert x\rvert - 3x - 2 = 0. \]
3. В геометрической прогрессии \(a_1,a_2,\dots,a_{4032}\) произведение членов с нечётными номерами в \(3^{2016}\) раз меньше произведения членов с чётными номерами. Найти знаменатель этой прогрессии.
4. Дан треугольник \(ABC\) со сторонами \(AB = AC = 5\) и \(BC = 8\). Через середину стороны \(BC\) проведена прямая, перпендикулярная стороне \(AC\). В каком отношении она делит площадь треугольника \(ABC\)?
5. Корни квадратного уравнения \[ x^2 + px + q = 0 \] являются целыми числами. Найти \(p\) и \(q\), если \(p + q = 108\).

Решения задач

1. Найти наибольшее простое число, которое является делителем числа 67725.
   Решение: Разложим число 67725 на простые множители:
   $67725 = 5^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 43$
   Наибольший простой делитель — 43.
   Ответ: 43.
   
   
2. Решить уравнение \[ x\lvert x\rvert - 3x - 2 = 0. \]
   Решение: Рассмотрим два случая:
   Случай 1: $x \geq 0$
   Уравнение принимает вид:
   $x^2 - 3x - 2 = 0$
   Дискриминант: $D = 9 + 8 = 17$
   Корни: $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$
   Подходит только положительный корень: $x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$
   
   Случай 2: $x < 0$
   Уравнение принимает вид:
   $-x^2 - 3x - 2 = 0 \Rightarrow x^2 + 3x + 2 = 0$
   Корни: $x = -1$ и $x = -2$ (оба отрицательные)
   Ответ: $\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$, $-1$, $-2$.
   
   
3. В геометрической прогрессии \(a_1,a_2,\dots,a_{4032}\) произведение членов с нечётными номерами в \(3^{2016}\) раз меньше произведения членов с чётными номерами. Найти знаменатель этой прогрессии.
   Решение: Пусть знаменатель прогрессии — \(q\). Произведение членов с нечётными номерами:
   $P_{неч} = a_1 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_{4031} = a_1^{2016} \cdot q^{2 \cdot (1 + 2 + \dots + 2015)}$
   Произведение членов с чётными номерами:
   $P_{чёт} = a_2 \cdot a_4 \cdot \dots \cdot a_{4032} = (a_1 q)^{2016} \cdot q^{2 \cdot (1 + 2 + \dots + 2015)}$
   Отношение: $\frac{P_{чёт}}{P_{неч}} = q^{2016} = 3^{2016} \Rightarrow q = 3$
   Ответ: 3.
   
   
4. Дан треугольник \(ABC\) со сторонами \(AB = AC = 5\) и \(BC = 8\). Через середину стороны \(BC\) проведена прямая, перпендикулярная стороне \(AC\). В каком отношении она делит площадь треугольника \(ABC\)?
   Решение: Пусть \(M\) — середина \(BC\), \(M(4, 0)\). Прямая через \(M\) перпендикулярна \(AC\) (горизонтальной оси), значит, это вертикальная прямая \(x = 4\). Она пересекает \(AB\) в точке \(D(4, \frac{\sqrt{39}}{2})\). Площадь треугольника \(ADM\) составляет $\frac{1}{4}$ площади \(ABC\), а оставшаяся часть — $\frac{3}{4}$.
   Ответ: $1:3$.
   
   
5. Корни квадратного уравнения \[ x^2 + px + q = 0 \] являются целыми числами. Найти \(p\) и \(q\), если \(p + q = 108\).
   Решение: Пусть корни \(m\) и \(n\). Тогда:
   $\begin{cases} m + n = -p \\ mn = q \\ -p + q = 108 \end{cases}$
   Подставляя, получаем: $(m-1)(n-1) = 109$ (109 — простое). Возможные варианты:
   $\begin{cases} m = 110 \\ n = 2 \end{cases} \Rightarrow p = -112, q = 220$
   или
   $\begin{cases} m = 0 \\ n = -108 \end{cases} \Rightarrow p = 108, q = 0$
   Ответ: $(p, q) = (-112, 220)$ или $(108, 0)$.