СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2016 год вариант 1

1. Найти наибольшее простое число, которое является делителем числа \(64575\).
2. Решить уравнение \[ x\lvert x\rvert - 4x + 3 = 0. \]
3. В геометрической прогрессии \(a_1,a_2,\dots,a_{2016}\) произведение членов с чётными номерами в \(2^{1008}\) раз больше произведения членов с нечётными номерами. Найти знаменатель этой прогрессии.
4. Дан треугольник \(MPN\) со сторонами \(MP = PN = 5\) и \(MN = 6\). Через середину стороны \(MN\) проведена прямая, перпендикулярная стороне \(PN\). В каком отношении она делит площадь треугольника \(MPN\)?
5. Корни квадратного уравнения \[ x^2 + px + q = 0 \] являются целыми числами. Найти \(p\) и \(q\), если \(p + q = 112\).

Решения задач

1. Найти наибольшее простое число, которое является делителем числа \(64575\).
   Решение: Разложим число на множители:
   \(64575 = 5 \cdot 12915 = 5^2 \cdot 2583 = 5^2 \cdot 9 \cdot 287 = 5^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 41\).
   Наибольший простой делитель — \(41\).
   Ответ: 41.
2. Решить уравнение \[ x\lvert x\rvert - 4x + 3 = 0. \] Решение: Рассмотрим два случая:
   Случай 1: \(x \geq 0\)
   Уравнение принимает вид: \(x^2 - 4x + 3 = 0\).
   Корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\) (оба удовлетворяют условию \(x \geq 0\)).
   Случай 2: \(x < 0\)
   Уравнение принимает вид: \(-x^2 - 4x + 3 = 0\).
   Умножаем на \(-1\): \(x^2 + 4x - 3 = 0\).
   Корни: \(x = -2 \pm \sqrt{7}\). Проверяем условие \(x < 0\):
   \(-2 + \sqrt{7} \approx 0,645 > 0\) — не подходит.
   \(-2 - \sqrt{7} \approx -4,645 < 0\) — подходит.
   Ответ: \(1; 3; -2 - \sqrt{7}\).
3. В геометрической прогрессии \(a_1,a_2,\dots,a_{2016}\) произведение членов с чётными номерами в \(2^{1008}\) раз больше произведения членов с нечётными номерами. Найти знаменатель этой прогрессии.
   Решение: Пусть знаменатель прогрессии \(q\). Произведение чётных членов:
   \(P_{чёт} = a_2 \cdot a_4 \cdot \dots \cdot a_{2016} = a_1^{1008} \cdot q^{1008^2}\).
   Произведение нечётных членов:
   \(P_{нечёт} = a_1 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_{2015} = a_1^{1008} \cdot q^{1007 \cdot 1008}\).
   По условию \(\frac{P_{чёт}}{P_{нечёт}} = 2^{1008}\):
   \(\frac{q^{1008^2}}{q^{1007 \cdot 1008}} = q^{1008} = 2^{1008} \Rightarrow q = 2\).
   Ответ: 2.
4. Дан треугольник \(MPN\) со сторонами \(MP = PN = 5\) и \(MN = 6\). Через середину стороны \(MN\) проведена прямая, перпендикулярная стороне \(PN\). В каком отношении она делит площадь треугольника \(MPN\)?
   Решение: Середина \(MN\) — точка \(K(3,2; 2,4)\). Прямая через \(K\) перпендикулярна \(PN\) (вертикальная прямая \(x = 3,2\)). Эта прямая делит треугольник на две равные части, так как проходит через центр симметрии фигуры.
   Ответ: \(1:1\).
5. Корни квадратного уравнения \[ x^2 + px + q = 0 \] являются целыми числами. Найти \(p\) и \(q\), если \(p + q = 112\).
   Решение: Пусть корни \(m\) и \(n\). Тогда:
   \( \begin{cases} m + n = -p \\ mn = q \\ -p + q = 112 \end{cases} \)
   Подставляем: \(mn - m - n = 112\). Добавляем 1 к обеим частям:
   \((m - 1)(n - 1) = 113\) (113 — простое число).
   Возможные пары: \((2, 114)\) и \((-112, 0)\). Соответствующие \(p\) и \(q\):
   \(p = -116\), \(q = 228\) или \(p = 112\), \(q = 0\).
   Ответ: \((p, q) = (-116, 228)\) или \((112, 0)\).