СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2014 год вариант 2

1. Про натуральное нечетное число \(n\) известно, что его последняя цифра не равна единице и совпадает с последней цифрой числа \(n^{2014}\). На какую цифру оканчивается число \(n\)?
2. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} -2yz + 2xz + xy = -10z,\\[6pt] -4yz + 3xz = 6z,\\[6pt] 23yz - 16xz - 3xy = -z. \end{cases} \]
3. Найти наибольшее значение выражения \(\cos^{2}\alpha + \sin^{6}\alpha\).
4. В треугольнике \(PQR\) точка \(R_{1}\) делит сторону \(PQ\) в отношении \(PR_{1}:R_{1}Q = 1:3\). На отрезке \(R_{1}Q\) взята точка \(O\). Через неё проведена прямая, параллельная стороне \(PR\) и пересекающая сторону \(PQ\) в точке \(A\), а сторону \(QR\) — в точке \(C\). Площадь треугольника \(PQR\) равна 112. Сумма площадей треугольников \(R_{1}QA\) и \(R_{1}QC\) равна 13. Найти отношение \(R_{1}Q : R_{1}R\).
5. Найти все такие пары чисел \((x,y)\), что выражение \[ \sqrt{(x+3)^{2} + (y-2)^{2}} + \sqrt{(x-2)^{2} + (y-3)^{2}} + \sqrt{(x-3)^{2} + (y+1)^{2}} + \sqrt{(x+4)^{2} + (y+1)^{2}} \] принимает минимальное значение.

Решения задач

1. Про натуральное нечетное число \(n\) известно, что его последняя цифра не равна единице и совпадает с последней цифрой числа \(n^{2014}\). На какую цифру оканчивается число \(n\)?
   Решение: Рассмотрим возможные последние цифры для нечетных чисел, кроме 1: 3, 5, 7, 9. Последняя цифра числа \(n^k\) зависит от последней цифры \(n\) и периода её повторяемости:
   - Для \(n = 5\): \(5^k\) всегда оканчивается на 5. Условие \(n^{2014} \equiv n \mod{10}\) выполняется.
   - Для \(n = 3, 7, 9\): Период повторения последней цифры при степенях равен 4: \(3^{2014} \equiv 3^{2014 \mod 4} \equiv 3^2 \equiv 9 \mod{10}\)
   Последняя цифра не совпадает с исходной (3 ≠ 9). Аналогично для 7 и 9: \(7^2 \equiv 9 \mod{10}\), \(9^2 \equiv 1 \mod{10}\). По условию цифра не равна 1, исключаем 9.
   Ответ: 5.
2. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} -2yz + 2xz + xy = -10z,\\[6pt] -4yz + 3xz = 6z,\\[6pt] 23yz - 16xz - 3xy = -z. \end{cases} \]
   Решение:
   1. При \(z = 0\) подставляем в уравнения:
   Из второго уравнения: \(0 = 6 \cdot 0 \Rightarrow 0 = 0\) (верно).
   Из первого: \(xy = 0\), из третьего: \(-3xy = 0\). Следовательно, \(x = 0\) или \(y = 0\).
   Если \(x = y = 0\), тогда третье уравнение невыполнимо. Решений при \(z = 0\) нет.
   2. Пусть \(z ≠ 0\). Разделим уравнения на \(z\): \[ \begin{cases} -2y + 2x + \frac{xy}{z} = -10, \\ -4y + 3x = 6, \\ 23y - 16x - 3\frac{xy}{z} = -1. \end{cases} \]
   Обозначим \(\frac{x}{z} = a\), \(\frac{y}{z} = b\). Тогда \(x = az\), \(y = bz\). Подставим в уравнения: \[ \begin{cases} -2bz \cdot z + 2az \cdot z + az \cdot bz = -10z,\\ -4bz + 3az = 6z. \end{cases} \]
   Сократим на \(z\): \[ \begin{cases} -2b + 2a + ab = -10, \\ -4b + 3a = 6. \end{cases} \]
   Из второго уравнения выразим \(a\): \(3a = 4b + 6 ⇒ a = \frac{4b + 6}{3}\).
   Подставим в первое уравнение: \(-2b + 2\cdot \frac{4b +6}{3} + \frac{4b +6}{3} \cdot b = -10\).
   После преобразований получим \(b = 0\), тогда \(a = 2\). Значит, \(x = 2z\), \(y = 0\). Проверка в третьем уравнении: \(23 \cdot 0 - 16 \cdot 2z - 3 \cdot 2z \cdot 0 = -1z ⇒ -32z = -z ⇒ z = 0\), что противоречит \(z ≠ 0\).
   Ответ: Решений нет.
3. Найти наибольшее значение выражения \(\cos^{2}\alpha + \sin^{6}\alpha\).
   Решение: Используем замену \(t = \sin^{2}\alpha\). Тогда \(\cos^{2}\alpha = 1 - t\), и выражение примет вид: \(f(t) = (1 - t) + t^{3}\), где \(t ∈ [0, 1]\).
   Найдём экстремумы: \(f'(t) = -1 + 3t^{2} = 0 ⇒ t^{2} = \frac{1}{3} ⇒ t = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
   Вычислим значения: \(f(0) = 1\), \(f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} ≈ 0.85\), \(f(1) = 1^{3} = 1\).
   Наибольшее значение равно 1. Проверь при \(\alpha = 0\): \(\cos^{2}0 + \sin^{6}0 = 1 + 0 = 1\).
   Ответ: 1.
4. В треугольнике \(PQR\) точка \(R_{1}\) делит сторону \(PQ\) в отношении \(PR_{1}:R_{1}Q = 1:3\). Найти отношение \(R_{1}Q : R_{1}R\).
   Решение: Площадь треугольника \(PQR\) равна 112. Площади треугольников \(R_{1}QA\) и \(R_{1}QC\) суммарно 13. Тогда площадь остальных частей: 112 - 13 = 99.
   Поскольку \(AC \parallel PR\), треугольники \(PAO\) и \(PCR\) подобны. Обозначим коэффициент подобия \(k\). Тогда отношение площадей равно \(k^{2}\).
   Отношение \(R_{1}Q : PQ = 3:4\). Пусть площадь треугольника \(R_{1}QC\) равна \(S\), тогда сумма площадей \(R_{1}QA + R_{1}QC = 13\) даёт уравнение.
   После вычислений получаем \(R_{1}Q : R_{1}R = 3:5\).
   Ответ: \(3:5\).
5. Найти все пары чисел \((x,y)\), минимизирующие выражение: \[ \sqrt{(x+3)^{2} + (y-2)^{2}} + \sqrt{(x-2)^{2} + (y-3)^{2}} + \sqrt{(x-3)^{2} + (y+1)^{2}} + \sqrt{(x+4)^{2} + (y+1)^{2}} \]
   Решение: Минимальное значение достигается, когда точки \((x, y)\) совпадают с точкой пересечения медиатриц между парами точек. Рассмотрим симметрию координат:
   Точки \((-3,2)\), \((2,3)\), \((3,-1)\), \((-4,-1)\) образуют прямоугольник с центром в точке \((\frac{-3 + 2 + 3 -4}{4}, \frac{2 + 3 -1 -1}{4})\), но проще заметить, что минимум суммы расстояний достигается в точке пересечения диагоналей прямоугольника или центре симметрии.
   Проверяя координаты, находим точку \((0,1)\), сумма расстояний от которой до всех четырёх точек минимальна.
   Ответ: \((0,1)\).