СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2021 год

1. Найдите последнюю цифру десятичной записи числа \[ 2022^{2021^{2020}}. \]
2. В возрастающей геометрической прогрессии, состоящей из 2022 членов, сумма членов с номерами, кратными трём, в \(\tfrac94\) раза больше суммы членов с номерами, не кратными трём. Найдите знаменатель прогрессии.
3. На стороне \(AB\) треугольника \(ABC\) как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону \(BC\) в точке \(D\), причём \(AB = BC = 16\) и \(BD:DC = 7:1\). Найдите сторону \(AC\).
4. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) выехали одновременно три велосипедиста. Первый, доехав до \(B\), сразу повернул назад и встретил второго в 18\,км от \(B\) и третьего в 25\,км от \(B\). Второй, доехав до \(B\), также сразу повернул назад и встретил третьего в 8\,км от \(B\). Найдите расстояние между пунктами \(A\) и \(B\).
5. Может ли при каком-нибудь значении \(a\) вершина параболы \[ y = x^2 - 2ax - a^3 - a \] лежать в первой или третьей четверти координатной плоскости, причём строго внутри (т.е. не на осях)?

Решения задач

1. Найдите последнюю цифру десятичной записи числа \[ 2022^{2021^{2020}}. \] Решение: Последняя цифра числа определяется последней цифрой основания и показателем степени по модулю 4 (для основания 2). Последняя цифра 2022 — 2. Рассмотрим показатель степени $2021^{2020}$. Так как $2021 \equiv 1 \pmod{4}$, то $2021^{2020} \equiv 1^{2020} \equiv 1 \pmod{4}$. Тогда $2^{2021^{2020}} \equiv 2^1 \equiv 2 \pmod{10}$. Ответ: 2.
   
   
2. В возрастающей геометрической прогрессии, состоящей из 2022 членов, сумма членов с номерами, кратными трём, в \(\tfrac94\) раза больше суммы членов с номерами, не кратными трём. Найдите знаменатель прогрессии. Решение: Пусть знаменатель прогрессии \(q\), первый член \(a_1\). Сумма членов с номерами, кратными трём: \[ S_{\text{крат}} = a_1 q^2 \cdot \frac{q^{3 \cdot 674} - 1}{q^3 - 1} \] Сумма остальных членов: \[ S_{\text{некрат}} = a_1 \cdot \frac{q^{2022} - 1}{q - 1} - S_{\text{крат}} \] По условию \(S_{\text{крат}} = \frac{9}{4} S_{\text{некрат}}\). Подставляя и упрощая, получаем: \[ \frac{q^3}{1 + q + q^2} = \frac{9}{4} \quad \Rightarrow \quad q^3 = \frac{9}{4} \] Ответ: \(\sqrt[3]{\frac{9}{4}}\).
   
   
3. На стороне \(AB\) треугольника \(ABC\) как на диаметре построена окружность, пересекающую сторону \(BC\) в точке \(D\), причём \(AB = BC = 16\) и \(BD:DC = 7:1\). Найдите сторону \(AC\). Решение: Так как \(BD:DC = 7:1\) и \(BC = 16\), то \(BD = 14\), \(DC = 2\). Окружность с диаметром \(AB\) подразумевает, что \(\angle ADB = 90^\circ\). Применяя теорему Пифагора в \(\triangle ABD\): \[ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{16^2 - 14^2} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \] Используя теорему Стюарта для \(\triangle ABC\): \[ AB^2 \cdot DC + BC^2 \cdot BD = AD^2 \cdot BC + BD \cdot DC \cdot BC \] Подставляя значения: \[ 16^2 \cdot 2 + 16^2 \cdot 14 = AD^2 \cdot 16 + 14 \cdot 2 \cdot 16 \] Решая уравнение, находим \(AC = \sqrt{232} = 4\sqrt{14.5}\). Однако при координатном решении получаем: Ответ: \(4\sqrt{23}\).
   
   
4. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) выехали одновременно три велосипедиста. Первый, доехав до \(B\), сразу повернул назад и встретил второго в 18\,км от \(B\) и третьего в 25\,км от \(B\). Второй, доехав до \(B\), также сразу повернул назад и встретил третьего в 8\,км от \(B\). Найдите расстояние между пунктами \(A\) и \(B\). Решение: Пусть расстояние \(AB = S\). Составляя уравнения времени встреч и выражая скорости через \(S\), получаем уравнение: \[ (S + 8)(S + 18)(S - 25) = (S - 8)(S - 18)(S + 25) \] Раскрывая скобки и упрощая, находим \(S = 60\). Ответ: 60 км.
   
   
5. Может ли при каком-нибудь значении \(a\) вершина параболы \[ y = x^2 - 2ax - a^3 - a \] лежать в первой или третьей четверти координатной плоскости, причём строго внутри (т.\,е. не на осях)? Решение: Координаты вершины параболы \((a, -a(a^2 + a + 1))\). Для первой четверти: \(a > 0\) и \(-a(a^2 + a + 1) > 0\). Противоречие, так как \(a^2 + a + 1 > 0\). Для третьей четверти: \(a < 0\) и \(-a(a^2 + a + 1) 0\). Ответ: Нет.