СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2017 год вариант 2

1. Коля бегает по круглой дорожке, а Катя катается по ней на самокате в том же направлении. Катя проезжает круг на 5 секунд быстрее, чем Коля его пробегает, и Катя обгоняет Колю через каждые 3,5 минуты. За сколько времени Катя проезжает круг, и за сколько времени Коля его пробегает?
2. Найдите наименьшее натуральное \(k\), такое, что \(67!\) не кратно \(k^2\).
3. В арифметической прогрессии, содержащей 60 членов, сумма членов с нечётными номерами равна 44, а сумма членов с чётными номерами равна 54. Найдите сумму членов, номера которых кратны 4.
4. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) делит сторону \(BC\), равную 12, в отношении \(BM:MC = 1:4\). Известно, что расстояние от точки \(M\) до прямой \(AC\) в пять раз больше расстояния от точки \(M\) до прямой \(AB\). Найдите остальные стороны треугольника, если известно, что \(\cos A = \tfrac{4}{5}\).
5. Дан квадратный трёхчлен \(f(x) = x^2 - b x + 1\). Известно, что уравнение \[ f\bigl(f(x)\bigr) = 0 \] имеет 4 различных действительных корня, произведение которых равно \(-1001\). Найдите \(b\).

1. Катя за 30с., Коля за 35с.
2. 37
3. 32
4. $AB = 20,\ AC = 16$
5. $b = 1003$

Решения задач

1. Коля бегает по круглой дорожке, а Катя катается на самокате. Катя проезжает круг на 5 секунд быстрее Коли и обгоняет его каждые 3,5 минуты. Найдите время прохождения круга каждым.
   Решение: Пусть время Коли — \( t \) секунд, тогда Кати — \( t - 5 \). Разница скоростей: \[ \frac{1}{t - 5} - \frac{1}{t} \] За 210 секунд (3,5 минуты) Катя обгоняет Колю на целый круг: \[ \left( \frac{1}{t - 5} - \frac{1}{t} \right) \cdot 210 = 1 \] Упрощаем: \[ \frac{5}{t(t - 5)} \cdot 210 = 1 \implies t^2 - 5t - 1050 = 0 \] Решая квадратное уравнение: \[ t = \frac{5 + \sqrt{4225}}{2} = 35 \; \text{с}, \; t - 5 = 30 \; \text{с} \] Ответ: Катя — 30 с, Коля — 35 с.
   
   
2. Найдите наименьшее натуральное \( k \), такое, что \( 67! \) не кратно \( k^2 \).
   Решение: Наименьшее \( k \) соответствует простому числу, степень которого в разложении \( 67! \) равна 1. Минимальное такое простое число — 61 (входит в \( 67! \) один раз). Тогда \( 61^2 \nmid 67! \).
   Ответ: 61.
   
   
3. В арифметической прогрессии сумма членов с нечётными номерами равна 44, с чётными — 54. Найдите сумму членов, номеров кратных 4.
   Решение: Прогрессия из 60 членов: \[ \begin{cases} S_{\text{неч}} = 30(a_1 + 29d) = 44 \\ S_{\text{чёт}} = 30(a_1 + 30d) = 54 \end{cases} \] Вычитая уравнения: \[ d = \frac{9}{5} - \frac{22}{15} = \frac{1}{3} \] Сумма членов, кратных 4: \[ S_{4n} = \frac{15}{2} \cdot (2a_4 + 14 \cdot 4d) = 32 \] Ответ: 32.
   
   
4. В треугольнике \( ABC \) точка \( M \) делит \( BC \) в отношении 1:4. Расстояние от \( M \) до \( AC \) в 5 раз больше расстояния до \( AB \). Найдите стороны треугольника, если \( \cos A = \frac{4}{5} \).
   Решение: Отношение расстояний \( h_{AC}:h_{AB} = 5:1 \). Отношение площадей треугольников: \[ \frac{S_{ABM}}{S_{ACM}} = \frac{BM}{MC} = \frac{1}{4} \implies \frac{AB}{5AC} = \frac{1}{4} \implies AB = \frac{5}{4}AC \] По теореме косинусов: \[ 12^2 = \left( \frac{5}{4}AC \right)^2 + AC^2 - 2 \cdot \frac{5}{4}AC \cdot AC \cdot \frac{4}{5} \implies AC = 16, \; AB = 20 \] Ответ: \( AB = 20 \), \( AC = 16 \).
   
   
5. Найдите \( b \) для уравнения \( f(f(x)) = 0 \), где \( f(x) = x^2 - b x + 1 \), если произведение корней равно \(-1001\).
   Решение: Корни уравнения \( f(f(x)) = 0 \) удовлетворяют \( f(x) = y_1 \) и \( f(x) = y_2 \), где \( y_{1,2} = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4}}{2} \). Произведение корней: \[ (1 - y_1)(1 - y_2) = 2 - b = -1001 \implies b = 1003 \] Ответ: \( b = 1003 \).