СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2017 год вариант 1

1. Вася и Петя бегают по круглой дорожке в одном направлении. Вася пробегает один круг на 3 секунды быстрее и обгоняет Петю раз в полторы минуты. За сколько времени пробегает круг каждый из мальчиков?
2. Найдите наименьшее натуральное \(N\), такое, что \(53!\) не кратно \(N^2\).
3. В арифметической прогрессии, содержащей 30 членов, сумма членов с нечётными номерами равна 22, а сумма членов с чётными номерами равна 27. Найдите сумму членов, номера которых кратны 3.
4. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) делит сторону \(BC\), равную 12, в отношении \(BM:MC = 1:3\). Известно, что расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\) в пять раз меньше расстояния от точки \(M\) до прямой \(AC\). Найдите остальные стороны треугольника, если известно, что \(\cos A = \tfrac{3}{5}\).
5. Дан квадратный трёхчлен \(P(x) = x^2 - p x + 1\). Известно, что уравнение \[ P\bigl(P(x)\bigr) = 0 \] имеет 4 различных действительных корня, произведение которых равно \(-2017\). Найдите \(p\).

1. Вася за 15~сек., Петя за 18~сек.
2. 29
3. \(\displaystyle \frac{59}{3}\)
4. \(AB = 15,\ AC = 9\)
5. \(p = 2019\)

Решения задач

1. Вася и Петя бегают по круглой дорожке в одном направлении. Вася обгоняет Петю каждые 90 секунд. Пусть время Васи на круг \(t\) секунд, тогда время Пети — \(t + 3\). Разница скоростей: \[ \frac{1}{t} - \frac{1}{t+3} = \frac{3}{t(t+3)} \] Время между обгонами: \[ \frac{t(t+3)}{3} = 90 \Rightarrow t^2 + 3t - 270 = 0 \] Корни: \(t = 15\) (Вася), \(t + 3 = 18\) (Петя).
   Ответ: Вася — 15 секунд, Петя — 18 секунд.
2. Наименьшее \(N\) такое, что \(53!\) не кратно \(N^2\). Рассмотрим разложение \(53!\) на простые множители. Наибольший простой делитель — 53, его степень в \(53!\) равна 1. Минимальное \(N\), квадрат которого не делит \(53!\), — это 53, так как \(53^2\) не содержится в \(53!\).
   Ответ: \(N = 53\).
3. В арифметической прогрессии сумма нечётных членов — 22, чётных — 27. Система уравнений: \[ \begin{cases} 15a_1 + 210d = 22 \\ 15a_1 + 225d = 27 \end{cases} \Rightarrow 15d = 5 \Rightarrow d = \frac{1}{3} \] Находим \(a_1 = -\frac{16}{5}\). Сумма членов с номерами кратными 3: \[ S = \frac{59}{3} \approx 19{,}67. \] Ответ: \(\frac{59}{3}\).
4. Треугольник \(ABC\), \(BM:MC = 1:3\), расстояние от \(M\) до \(AB\) в 5 раз меньше, чем до \(AC\). Используя соотношения площадей и теорему косинусов: \[ \cos A = \frac{3}{5}, BC = 12 \Rightarrow AB = 15,\; AC = 9. \] Ответ: \(AB = 15\) см, \(AC = 9\) см.
5. Уравнение \(P(P(x)) = 0\) имеет корни с произведением \(-2017\). Теорема Виета для уравнения \(y^2 - py + 1 = 0\) даёт произведение корней \(2 - p = -2017 \Rightarrow p = 2019\).
   Ответ: \(p = 2019\).