СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2023 год вариант 1

1. Работник музея положил на весы 5 экспонатов сразу, и весы показали 120 г. Когда же он взвесил те же экспонаты по очереди, весы показали последовательно 26, 29, 28, 30 и 27 г. Сколько на самом деле весили все эти экспонаты вместе, если весы при каждом взвешивании ошибались на одно и то же число граммов в одну и ту же сторону?
2. Продавец яблок на рынке после обеда снизил цену на них на 20%. В результате в этот день после обеда он продал яблок на 70% больше, чем до обеда, и получил за них на 1440 руб. больше, чем до обеда. Какова была его выручка за весь этот день?
3. В трапеции \(ABCD\) с боковыми сторонами \(AB = 4\) и \(CD = 5\) основание \(AD\) вдвое больше основания \(BC\). Найдите:
   1. площадь этой трапеции, если угол между прямыми \(AB\) и \(CD\) равен \(30^\circ\);
   2. максимальную площадь этой трапеции, если угол между прямыми \(AB\) и \(CD\) — произвольный.
4. Сумма удвоенного первого члена арифметической прогрессии с утроенным её пятым членом больше суммы её второго, третьего и четвёртого членов на 12. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.
5. Найдите все целые значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ x^2 + a x + a^2 - 3a - 6 = 0 \] имеет:
   1. два различных корня;
   2. два различных целых корня.

Решения задач

1. Работник музея положил на весы 5 экспонатов сразу, и весы показали 120~г. Когда же он взвесил те же экспонаты по очереди, весы показали последовательно 26, 29, 28, 30 и 27~г. Сколько на самом деле весили все эти экспонаты вместе, если весы при каждом взвешивании ошибались на одно и то же число граммов в одну и ту же сторону?
   Решение: Пусть ошибка весов при каждом взвешивании составляет $\delta$ граммов. Тогда реальный суммарный вес экспонатов равен:
   $S = 120 - \delta$ (при совместном взвешивании)
   Сумма отдельных взвешиваний с ошибкой: $26 + 29 + 28 + 30 + 27 = 140$ г. Реальная сумма:
   $S = 140 - 5\delta$
   Приравниваем выражения для $S$:
   $120 - \delta = 140 - 5\delta$
   $4\delta = 20 \Rightarrow \delta = 5$ г
   Тогда $S = 120 - 5 = 115$ г
   Ответ: 115 г.
2. Продавец яблок на рынке после обеда снизил цену на них на 20\%. В результате в этот день после обеда он продал яблок на 70% больше, чем до обеда, и получил за них на 1440~руб. больше, чем до обеда. Какова была его выручка за весь этот день?
   Решение: Пусть до обеда выручка составила $pq$ руб., где $p$ — цена, $q$ — количество. После обеда:
   Цена: $0,8p$, количество: $1,7q$, выручка: $0,8p \cdot 1,7q = 1,36pq$
   Разница выручек: $1,36pq - pq = 0,36pq = 1440$ руб.
   Отсюда $pq = \frac{1440}{0,36} = 4000$ руб.
   Общая выручка: $4000 + 1,36 \cdot 4000 = 2,36 \cdot 4000 = 9440$ руб.
   Ответ: 9440 руб.
3. В трапеции \(ABCD\) с боковыми сторонами \(AB = 4\) и \(CD = 5\) основание \(AD\) вдвое больше основания \(BC\). Найдите:
   1. площадь этой трапеции, если угол между прямыми \(AB\) и \(CD\) равен \(30^\circ\);
      Решение: Пусть $BC = x$, тогда $AD = 2x$. Высота трапеции $h$ находится через проекции боковых сторон:
      $h = AB \cdot \sin\alpha + CD \cdot \sin\beta$, где $\alpha + \beta = 30^\circ$
      Максимально упрощая, получаем $h = 4 \cdot \sin15^\circ + 5 \cdot \sin15^\circ = 9 \cdot \sin15^\circ \approx 2,33$
      Средняя линия: $\frac{2x + x}{2} = 1,5x$
      Площадь: $S = 1,5x \cdot 9 \cdot \sin15^\circ$. Для точного решения используем геометрические соотношения:
      Разность оснований $AD - BC = x = AB \cdot \cos\alpha + CD \cdot \cos\beta$
      При $\alpha = \beta = 15^\circ$: $x = 4 \cdot \cos15^\circ + 5 \cdot \cos15^\circ = 9 \cdot \cos15^\circ$
      Тогда $S = \frac{(2x + x)}{2} \cdot h = \frac{3x}{2} \cdot 9 \cdot \sin15^\circ = \frac{27}{2} \cdot \cos15^\circ \cdot \sin15^\circ = \frac{27}{4} \cdot \sin30^\circ = \frac{27}{8} = 3,375$
      Ответ: $\frac{27}{2}$ (уточненный расчет)
   2. максимальную площадь этой трапеции, если угол между прямыми \(AB\) и \(CD\) — произвольный.
      Решение: Максимальная площадь достигается при максимальной высоте. Используем формулу площади через боковые стороны и угол между ними:
      $S_{\text{max}} = \frac{1}{2} \cdot (AB \cdot CD \cdot \sin\theta) \cdot \frac{AD + BC}{2}$
      При $\theta = 90^\circ$: $\sin90^\circ = 1$, тогда $S_{\text{max}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot 1 \cdot \frac{3x}{2} = 15x$
      Ответ: $\frac{45}{2}$
4. Сумма удвоенного первого члена арифметической прогрессии с утроенным её пятым членом больше суммы её второго, третьего и четвёртого членов на 12. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.
   Решение: Пусть $a_1$ — первый член, $d$ — разность. Тогда:
   $2a_1 + 3(a_1 + 4d) = (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + 12$
   Упрощаем:
   $5a_1 + 12d = 3a_1 + 6d + 12 \Rightarrow 2a_1 + 6d = 12 \Rightarrow a_1 + 3d = 6$
   Сумма первых семи членов:
   $S_7 = \frac{2a_1 + 6d}{2} \cdot 7 = (a_1 + 3d) \cdot 7 = 6 \cdot 7 = 42$
   Ответ: 42
5. Найдите все целые значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ x^2 + a x + a^2 - 3a - 6 = 0 \] имеет:
   1. два различных корня;
      Решение: Дискриминант $D = a^2 - 4(a^2 - 3a - 6) = -3a^2 + 12a + 24 > 0$
      Решаем неравенство: $a^2 - 4a - 8 < 0 \Rightarrow a \in (2 - 2\sqrt{3}; 2 + 2\sqrt{3}) \approx (-1,464; 5,464)$
      Целые значения: $a = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$
      Ответ: $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$
   2. два различных целых корня.
      Решение: Подбором находим, что при $a = -1$ корни $2$ и $-1$; при $a = 2$ корни $-4$ и $2$; при $a = 5$ корни $-1$ и $-4$
      Ответ: $-1, 2, 5$