СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2022 год вариант 1

1. В коробке, вмещающей не более 250 шариков, лежат шарики четырёх цветов: жёлтые, синие, зелёные и красные. Жёлтые шарики составляют ровно \(\tfrac{15}{28}\) от общего их числа, синие — ровно \(\tfrac{4}{35}\), а зелёные — ровно 20%. Сколько процентов от общего числа составляют красные шарики и каким может быть их количество?
2. Решите уравнение \[ \sqrt{x^2 + x - 42 \;-\; 2x\sqrt{x - 42}} \;=\; 2022. \]
3. Найдите сумму всех натуральных чис, у каждого из которых десятичная запись имеет сумму цифр, равную 6, и не содержит цифр, отличных от 1, 2 и 3.
4. Три из четырёх вершин квадрата \(KLMN\) лежат на сторонах прямоугольного треугольника \(ABC\), а именно: точка \(K\) — на катете \(AC = 5\), точка \(L\) — на катете \(BC = 10\), а точка \(M\) — на гипотенузе \(AB\), причём она находится на расстоянии 3 от катета \(BC\). Найдите сторону квадрата \(KLMN\) и площадь треугольника \(NLB\).
5. Сумма первого, второго и третьего членов возрастающей геометрической прогрессии равна 14, причём они, соответственно, больше первого, второго и третьего членов арифметической прогрессии на 5, 6 и 9 соответственно. Найдите первый член арифметической прогрессии.

Решения задач

1. В коробке лежат шарики четырёх цветов. Жёлтые составляют \(\frac{15}{28}\), синие \(\frac{4}{35}\), зелёные 20% от общего числа. Найти процент красных шариков и их количество.
   Решение: Общее количество шариков \(N\) должно быть кратно НОК(28, 35, 5) = 140. Максимальное \(N \leq 250\) ⇒ \(N = 140\).
   Жёлтых: \(\frac{15}{28} \cdot 140 = 75\)
   Синих: \(\frac{4}{35} \cdot 140 = 16\)
   Зелёных: \(140 \cdot 0,2 = 28\)
   Красных: \(140 - (75 + 16 + 28) = 21\)
   Процент красных: \(\frac{21}{140} \cdot 100% = 15\%\)
   Ответ: 15%, 21 штука.
   
   
2. Решить уравнение \(\sqrt{x^2 + x - 42 - 2x\sqrt{x - 42}} = 2022\).
   Решение: Заметим, что подкоренное выражение можно представить как \((x - \sqrt{x - 42})^2\):
   \(\sqrt{(x - \sqrt{x - 42})^2} = |x - \sqrt{x - 42}| = 2022\)
   Так как \(x \geq 42\), имеем \(x - \sqrt{x - 42} = 2022\). Пусть \(t = \sqrt{x - 42}\), тогда:
   \(t^2 + 42 - t = 2022 \Rightarrow t^2 - t - 1980 = 0\)
   Дискриминант: \(D = 1 + 4 \cdot 1980 = 7921 = 89^2\)
   Корень: \(t = \frac{1 + 89}{2} = 45 \Rightarrow x = 45^2 + 42 = 2067\)
   Ответ: 2067.
   
   
3. Найти сумму всех натуральных чисел с суммой цифр 6, состоящих из цифр 1, 2, 3.
   Решение: Все возможные комбинации:
   - 6 единиц: 111111 (1 число)
   - 3 двойки: 222 (1 число)
   - 4 единицы + 1 двойка: 11112, 11121, 11211, 12111, 21111 (5 чисел)
   - 2 единицы + 2 двойки: 1122, 1212, 1221, 2112, 2121, 2211 (6 чисел)
   - 3 единицы + 1 тройка: 1113, 1131, 1311, 3111 (4 числа)
   - 1 единица + 1 двойка + 1 тройка: 123, 132, 213, 231, 312, 321 (6 чисел)
   - 2 тройки: 33 (1 число)
   Сумма: \(111111 + 222 + 5 \cdot 11112 + 6 \cdot 1122 + 4 \cdot 1113 + 6 \cdot 123 + 33 = 111111 + 222 + 55560 + 6732 + 4452 + 738 + 33 = 186846\)
   Ответ: 186846.
   
   
4. Три вершины квадрата \(KLMN\) лежат на сторонах прямоугольного треугольника \(ABC\). Найти сторону квадрата и площадь треугольника \(NLB\).
   Решение: Координаты точек:
   \(C(0,0)\), \(A(0,5)\), \(B(10,0)\). Гипотенуза \(AB\): \(y = -\frac{1}{2}x + 5\).
   Точка \(M(4,3)\) на \(AB\) (расстояние до \(BC\) = 3). Пусть сторона квадрата \(a\).
   Координаты:
   \(L(10 - a, 0)\), \(K(0, 5 - a)\), \(N(10 - a, 5 - a)\)
   Уравнение стороны \(KM\): \(\frac{x - 0}{4 - 0} = \frac{y - (5 - a)}{3 - (5 - a)} \Rightarrow y = \frac{a - 2}{4}x + 5 - a\)
   Условие перпендикулярности сторон квадрата:
   \(\frac{a - 2}{4} \cdot \frac{5 - a - 0}{10 - a - 0} = -1 \Rightarrow a = 2\)
   Сторона квадрата: 2. Координаты \(N(8,3)\), площадь \(\triangle NLB\):
   \(S = \frac{1}{2} \cdot |(8 - 10)(0 - 3) - (10 - 10)(3 - 0)| = 3\)
   Ответ: сторона 2, площадь 3.
   
   
5. Найти первый член арифметической прогрессии, если члены геометрической прогрессии больше на 5, 6, 9 соответственно.
   Решение: Пусть геометрическая прогрессия: \(b, bq, bq^2\), арифметическая: \(a, a + d, a + 2d\).
   Система: \[ \begin{cases} b(1 + q + q^2) = 14 \\ b = a + 5 \\ bq = a + d + 6 \\ bq^2 = a + 2d + 9 \end{cases} \]
   Исключая \(a\) и \(d\), получаем \(b(q - 1)^2 = 2\). При \(q = 2\): \(b = 2\), \(a = 2 - 5 = -3\).
   Ответ: \(-3\).