СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2018 год вариант 7

1. Два автомобиля ехали по шоссе со скоростью $60\ \mathrm{км/ч}$. Потом они какое-то время ехали по проселочной дороге со скоростью $30\ \mathrm{км/ч}$, после чего выехали на скоростную трассу, по которой ехали со скоростью $90\ \mathrm{км/ч}$. Какое расстояние было между автомобилями на трассе, если во время движения по шоссе второй отставал от первого на $300\ \mathrm{м}$?
2. Решите уравнение \[ |x^2 - 7| = |2x - 1|. \]
3. Номера ячеек в камере хранения идут от 000 до 999. Назовем номер интересным, если разность каких-нибудь соседних цифр равна 5. Найдите количество интересных номеров.
4. Найдите уравнение прямой, проходящей через обе точки пересечения парабол, задаваемых уравнениями \[ y = 2x^2 - 4x - 5 \quad\text{и}\quad y = -x^2 - 3x + 6. \]
5. Сколько всего клеток в прямоугольной таблице, если её диагональ пересекает ровно 29 клеток, а числа строк и столбцов взаимно просты и превышают 11?

1. $450\ \mathrm{м}$
2. $\{-4; 2; 1+\sqrt{7}; 1-\sqrt{7}\}$
3. $190$
4. $y = -\frac{10}{3}x + \frac{7}{3}$
5. $221$

Решения задач

1. Два автомобиля ехали по шоссе со скоростью $60\ \mathrm{км/ч}$. Потом они какое-то время ехали по проселочной дороге со скоростью $30\ \mathrm{км/ч}$, после чего выехали на скоростную трассу, по которой ехали со скоростью $90\ \mathrm{км/ч}$. Какое расстояние было между автомобилями на трассе, если во время движения по шоссе второй отставал от первого на $300\ \mathrm{м}$?
   Решение: При движении со скоростью $60\ \mathrm{км/ч} = 16\frac{2}{3}\ \mathrm{м/с}$ расстояние между автомобилями сохранялось как $300\ \mathrm{м}$. Так как дальнейшая скорость движения на всех участках была одинаковой для обоих автомобилей, относительная скорость между ними оставалась нулевой. Таким образом, при переходе на трассу расстояние между ними сохранилось.
   Ответ: 300 метров.
   
   
2. Решите уравнение \[ |x^2 - 7| = |2x - 1|. \]
   Решение: Уравнение распадается на два случая:
   [1.5ex] Случай 1: $x^2 - 7 = 2x - 1$
   $x^2 - 2x - 6 = 0$
   $D = 4 + 24 = 28$
   $x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$
   [1.5ex] Случай 2: $x^2 - 7 = -2x + 1$
   $x^2 + 2x - 8 = 0$
   $D = 4 + 32 = 36$
   $x = \frac{-2 \pm 6}{2}$, $\Rightarrow x = 2$ или $x = -4$
   Проверкой убеждаемся, что все четыре корня удовлетворяют исходному уравнению.
   Ответ: $1 + \sqrt{7}$, $1 - \sqrt{7}$, $-4$, $2$.
   
   
3. Номера ячеек в камере хранения идут от 000 до 999. Назовем номер интересным, если разность каких-нибудь соседних цифр равна 5. Найдите количество интересных номеров.
   Решение: Всего трехзначных номеров: 1000. Пара соседних цифр (первая и вторая либо вторая и третья) должна иметь разность по модулю 5. Рассчитаем количество пар для каждого случая:
   [1.5ex] Для пар первых двух цифр (a,b):
   Возможные пары $(0,5), (1,6), (2,7), (3,8), (4,9)$ и обратные. Таких пар 10 $\Rightarrow$ количество номеров: $10 \cdot 10 = 100$.
   Для пар последних двух цифр (b,c):
   Аналогично: $100$ номеров.
   Пересечение случаев (оба условия):
   Для фиксированных (a,b) есть единственное c, удовлетворяющее условию $\Rightarrow$ таких номеров $10$. По формуле включения-исключения:
   $100 + 100 - 10 = 190$.
   Ответ: 190.
   
   
4. Найдите уравнение прямой, проходящей через обе точки пересечения парабол, задаваемых уравнениями \[ y = 2x^2 - 4x - 5 \quad\text{и}\quad y = -x^2 - 3x + 6. \]
   Решение: Точки пересечения парабол удовлетворяют равенству: \[ 2x^2 - 4x - 5 = -x^2 - 3x + 6 \]
   Приведя подобные члены: \[ 3x^2 - x - 11 = 0 \] Для построения уравнения прямой через точки пересечения составим линейную комбинацию исходных уравнений парабол:
   Умножаем первое уравнение на 1, второе на 2 и складываем:
   $\left. \begin{gathered} y = 2x^2 - 4x - 5 \\ 2y = -2x^2 - 6x + 12 \end{gathered} \right\rvert + \Rightarrow 3y = -10x + 7$ \Ответ: $10x + 3y = 7$.
   
   
5. Сколько всего клеток в прямоугольной таблице, если её диагональ пересекает ровно 29 клеток, а числа строк и столбцов взаимно просты и превышают 11?
   Решение: Формула для количества пересечённых клеток диагональю: $m + n - \gcd(m,n)$. При взаимно простых $m$ и $n$ имеем:
   $m + n - 1 = 29 \Rightarrow m + n = 30$.
   Ищем взаимно простые числа $\{m,n\}$ больше 11:
   Единственная пара: $(13, 17)$. Общее число клеток:
   $13 \cdot 17 = 221$.
   Ответ: 221.