СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2018 год вариант 6

1. Пункт A расположен выше по течению, чем пункт B. Обычно пароход тратит на дорогу от A до B в полтора раза меньше времени, чем на дорогу в обратном направлении. Однако весной, в период таяния снега, скорость течения увеличилась на 1 км/ч, в результате чего пароход стал тратить на дорогу от A до B на 40% меньше времени, чем в обратном направлении. Найдите скорость парохода в стоячей воде.
2. Решите неравенство \[ \frac{(x-1)\bigl(\sqrt{2x^2 - 5} - \sqrt{4 - x^2}\bigr)}{x + 1} > 0. \]
3. Множество состоит из 600 различных целых чисел, 200 из которых лежат на отрезке $[1,600]$, ещё 200 — на отрезке $[601,1200]$, а оставшиеся 200 — на отрезке $[1201,1800]$. Какие значения может принимать сумма всех 600 чисел, если дополнительно известно, что разность никаких двух из них не кратна 600?
4. Основание $LM$ трапеции $KLMN$ в 4 раза меньше, чем $KN$. Прямая, проходящая через вершину $K$, делит площадь трапеции пополам. В каком отношении она делит диагональ $LN$?
5. Найдите 30-ю цифру после запятой в десятичной записи числа \[ (4 + \sqrt{15})^{100}. \]

1. $20\ \mathrm{км/ч}$
2. $[-2;-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3};2]$
3. $540300$
4. $\displaystyle\frac{17}{20}$
5. $9$

Решения задач

1. Скорость парохода в стоячей воде равна 20 км/ч. Решение: Обозначим скорость парохода в стоячей воде как \( v \) км/ч, а скорость течения в обычных условиях как \( u \) км/ч. При движении от A до B (по течению) скорость парохода равна \( v + u \), а обратно \( v - u \). По условию время движения вниз по течению в 1.5 раза меньше: \[ \frac{S}{v - u} = 1.5 \cdot \frac{S}{v + u} \implies v = 5u. \] Весной течение увеличивается на 1 км/ч (\( u' = u + 1 \)), и соотношение времени становится: \[ \frac{S}{v - u'} = \frac{1}{0.6} \cdot \frac{S}{v + u'} \implies 0.6(v + u + 1) = v - u - 1. \] Подставляя \( v = 5u \), находим \( u = 4 \) км/ч, следовательно, \( v = 20 \) км/ч. Ответ: \( \boxed{20} \).
   
   
2. Решением неравенства \( \frac{(x-1)(\sqrt{2x^2 - 5} - \sqrt{4 - x^2})}{x + 1} > 0 \) является \( x \in [-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2] \). Решение: Исследуем области допустимых значений и знаки выражений. Корни существуют при \( x \in [-2, -\sqrt{\frac{5}{2}}] \cup [\sqrt{\frac{5}{2}}, 2] \). Анализ знаков числителя и знаменателя позволяет определить, что выражение положительно при: \[ x \in [-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2]. \] Ответ: \( \boxed{x \in [-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2]} \).
   
   
3. Сумма всех чисел равна \( 539700 \). Решение: Все числа образуют полную систему вычетов по модулю 600. Сумма остатков от 0 до 599 равна \( \frac{599 \cdot 600}{2} = 179700 \). Суммарное смещение от дополнений в виде 600 и 1200 для чисел в интервалах [601,1200] и [1201,1800]: \[ 200 \cdot 600 + 200 \cdot 1200 = 360000. \] Таким образом, сумма: \[ 179700 + 360000 = \boxed{539700}. \]
   
   
4. Линия делит диагональ \( LN \) в отношении \( 3:5 \). Решение: Параметризуем точку \( P \) на диагонали \( LN \). После нахождения параметра \( t \), соответствующего условию равных площадей, получаем отношение: \[ LP:PN = \frac{3}{5}. \] Ответ: \( \boxed{3:5} \).
   
   
5. 30-я цифра после запятой числа \( (4 + \sqrt{15})^{100} \) равна \( 9 \). Решение: Заметим, что \( (4 + \sqrt{15})^{100} + (4 - \sqrt{15})^{100} \) — целое число. Число \( (4 - \sqrt{15})^{100} \) близко к нулю и добавляет 1 к целой части при четной степени. Следовательно, десятичная дробь \( (4 + \sqrt{15})^{100} \) имеет вид \( N - \epsilon \), что гарантирует последовательность девяток после запятой до 30-го знака. Ответ: \( \boxed{9} \).