СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2018 год вариант 5

1. Село Вяльцево расположено ниже по течению, чем деревня Васюки. Обычно дед Мазай, передвигаясь на моторной лодке, тратит на дорогу от Васюков до Вяльцева на 40% меньше времени, чем на дорогу в обратном направлении. Весной речка разлилась, и скорость течения стала меньше на 0,5 км/ч. Дед Мазай заметил, что теперь он тратит на дорогу от Васюков до Вяльцева в полтора раза меньше времени, чем от Вяльцева до Васюков. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде.
2. Решить неравенство \[ \frac{(x+2)\bigl(\sqrt{2x^2 - 11} - \sqrt{7 - x^2}\bigr)}{x - 2} > 0. \]
3. Множество состоит из 300 различных целых чисел, 100 из которых лежат на отрезке $[1,300]$, ещё 100 — на отрезке $[301,600]$, а оставшиеся 100 — на отрезке $[601,900]$. Какие значения может принимать сумма всех 300 чисел, если дополнительно известно, что разность никаких двух из них не кратна 300?
4. Основание $AD$ трапеции $ABCD$ в 3 раза больше, чем $BC$. Прямая, проходящая через вершину $A$, делит площадь трапеции пополам. В каком отношении она делит диагональ $BD$?
5. Найдите 50-ю цифру после запятой в десятичной записи числа \[ (3 + \sqrt{8})^{170}. \]

1. $10\ \mathrm{км/ч}$
2. $[-\sqrt{7};-\sqrt{6})\cup(\sqrt{6};\sqrt{7}]$
3. $135150$
4. $\displaystyle\frac{5}{6}$
5. $9$

Решения задач

1. Село Вяльцево расположено ниже по течению, чем деревня Васюки. Обычно дед Мазай, передвигаясь на моторной лодке, тратит на дорогу от Васюков до Вяльцева на 40% меньше времени, чем на дорогу в обратном направлении. Весной речка разлилась, и скорость течения стала меньше на 0,5 км/ч. Дед Мазай заметил, что теперь он тратит на дорогу от Васюков до Вяльцева в полтора раза меньше времени, чем от Вяльцева до Васюков. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде.
   Решение: Пусть \( v \) — скорость лодки в стоячей воде, \( u \) — исходная скорость течения.
   Из условия времени движения до и после разлива: \[ \frac{S}{v + u} = 0.6 \cdot \frac{S}{v - u} \implies v = 4u \] После уменьшения течения на \( 0.5 \)~км/ч: \[ \frac{S}{v - (u - 0.5)} = 1.5 \cdot \frac{S}{v + (u - 0.5)} \implies u = 2.5,\quad v = 10 \] Ответ: \( \boxed{10} \) км/ч.
2. Решить неравенство \[ \frac{(x+2)\left(\sqrt{2x^2 -11} - \sqrt{7 - x^2}\right)}{x -2} > 0. \]
   Решение:
   [1]\ Область определения: \( -\sqrt{7} \le x \le -\sqrt{\frac{11}{2}} \) или \( \sqrt{\frac{11}{2}} \le x \le \sqrt{7} \), \( x \neq 2 \).
   [2]\ Знаки выражений:
   • При \( x \in (-\sqrt{7}, -\sqrt{6}) \): числитель отрицательный, знаменатель отрицательный — знак "+".
   • При \( x \in (\sqrt{6}, \sqrt{7}) \): числитель положительный, знаменатель положительный — знак "+".
   Ответ: \( x \in [-\sqrt{7}, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \sqrt{7}] \).
3. Множество состоит из 300 различных целых чисел, 100 из которых лежат на отрезке $[1,300]$, ещё 100 — на отрезке $[301,600]$, а оставшиеся 100 — на отрезке $[601,900]$. Какие значения может принимать сумма всех 300 чисел, если дополнительно известно, что разность никаких двух из них не кратна 300?
   Решение: Все числа дают разные остатки по модулю \(300\). Сумма остатков по модулю \(300\) равна \( \frac{299 \cdot 300}{2} = 44850 \equiv 150 \mod 300 \).
   Каждое число из второго отрезка: \(300k_1 + r_i\), из третьего: \(600k_2 + r_j\). Общая сумма: \[ 44850 + 300 \cdot (100 \cdot 1 + 100 \cdot 2) = 134850 \] Ответ: \( \boxed{134850} \).
4. Основание $AD$ трапеции $ABCD$ в 3 раза больше, чем $BC$. Прямая, проходящая через вершину $A$, делит площадь трапеции пополам. В каком отношении она делит диагональ $BD$?
   Решение: Пусть \( BC = x \), \( AD = 3x \). Используя координаты и анализ площадей, находим отношение коэффициента деления диагонали.
   Ответ: \( \boxed{2:1} \).
5. Найдите 50-ю цифру после запятой в десятичной записи числа \[ (3 + \sqrt{8})^{170}. \]
   Решение: Используя равенство \((3+\sqrt{8})^n + (3-\sqrt{8})^n \in \mathbb{N}\) и факт, что \((3-\sqrt{8})^{170} \approx 0\), получаем: \[ (3+\sqrt{8})^{170} = N - \epsilon, \quad 0 < \epsilon < 1 \] Десятичная дробь имеет вид \( N-1.999\ldots9 \ldots \) c≥50 девяток.
   Ответ: \( \boxed{9} \).