СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2018 год вариант 4

1. Решите неравенство \[ \frac{2018}{x - 2017} \le 1. \]
2. Серёжа поехал на велосипеде на речку. Путь от дома до речки занял на 5% меньше времени, чем путь обратно, так как Серёжа в гору едет на 20% медленнее, чем с горы, а равнинных участков на пути от дома до речки нет вовсе. Каково отношение длины пути в гору к длине пути в гору в его поездке из дома на речку?
3. Диагонали трапеции, равные 7 и 24 соответственно, пересекаются под прямым углом, а одно из оснований этой трапеции равно 17. Найдите второе её основание.
4. Миша выписал на доске первые несколько членов арифметической прогрессии с первым членом 4 и разностью 4, а Петя выписал на доске первые 2018 членов геометрической прогрессии со знаменателем 2, первый член которой является степенью двойки с целым показателем. Могут ли суммы этих прогрессий оказаться одинаковыми?
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством \[ x^2 + y^2 \le 2\bigl(|x| + |y|\bigr). \]

1. $(-\infty;2017)\cup(4035;+\infty)$
2. $\displaystyle\frac{8}{5}$
3. $8$
4. Да
5. $4(\pi+2)$

Решения задач

1. Решите неравенство \[ \frac{2018}{x - 2017} \le 1. \]
   Решение: Преобразуем неравенство: \[ \frac{2018}{x - 2017} - 1 \le 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{2018 - (x - 2017)}{x - 2017} \le 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{4035 - x}{x - 2017} \le 0. \]
   Найдём интервалы знакопостоянства. Нули: числитель равен нулю при \(x = 4035\), знаменатель при \(x = 2017\). Метод интервалов даёт решение \(x \in (2017; 4035]\). При проверке крайних точек: \(x = 4035\) удовлетворяет неравенству, \(x = 2017\) — нет.
   Ответ: \( x \in (2017; 4035] \).
2. Каково отношение длины пути в гору к длине пути с горы в поездке из дома на речку?
   Решение: Пусть путь от дома до речки содержит участок в гору длиной \(a\) и с горы длиной \(b\). Обратный путь — наоборот. Скорость Серёжи с горы \(v\), в гору \(0.8v\). Время от дома до речки: \[ t_1 = \frac{a}{0.8v} + \frac{b}{v}. \] Время обратно: \[ t_2 = \frac{b}{0.8v} + \frac{a}{v}. \] По условию \(t_1 = 0.95 t_2\): \[ \frac{a}{0.8} + b = 0.95 \left( \frac{b}{0.8} + a \right). \] Умножаем на \(0.8\), упрощаем: \[ a + 0.8b = 0.76a + 0.95b \quad \Rightarrow \quad 0.24a = 0.15b \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{b} = \frac{5}{8}. \] Ответ: \(\frac{5}{8}\).
   
   
3. Найдите второе основание трапеции.
   Решение: Для трапеции с перпендикулярными диагоналями сумма квадратов оснований равна сумме квадратов диагоналей: \[ a^2 + b^2 = d_1^2 + d_2^2. \] Подставляем \(a = 17\), \(d_1 = 7\), \(d_2 = 24\): \[ 17^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 \quad \Rightarrow \quad b^2 = 336 \quad \Rightarrow \quad b = 4\sqrt{21}. \] Ответ: \(4\sqrt{21}\).
   
   
4. Могут ли суммы прогрессий оказаться одинаковыми?
   Решение: Сумма арифметической прогрессии \(2n(n+1)\). Сумма геометрической прогрессии \(2^k(2^{2018} - 1)\). Предполагая равенство: \[ 2n(n+1) = 2^k(2^{2018} - 1). \] Число \(2^{2018} - 1\) нечётное, правая часть содержит множитель \(2^k\). Левая часть \(2n(n+1)\) имеет один множитель 2, так как \(n\) и \(n+1\) взаимно просты. Это противоречит наличию множителя \(2^k\) при \(k \geq 1\). Следовательно, равенство невозможно. Ответ: Нет.
   
   
5. Найдите площадь фигуры.
   Решение: Преобразуем неравенство: \[ x^2 + y^2 \le 2(|x| + |y|) \quad \Rightarrow \quad (|x| - 1)^2 + (|y| - 1)^2 \le 2. \] Фигура состоит из четырёх кругов радиусом \(\sqrt{2}\) с центрами в \((1,1)\), \((-1,1)\), \((-1,-1)\), \((1,-1)\). Их пересечения образуют квадрат со стороной \(2\sqrt{2}\). Площадь каждого крука \(2\pi\), сумма 4 секторов кругов и квадрата: \[ 4 \times \frac{\pi (\sqrt{2})^2}{4} + 4 \times 1 = 2\pi + 4. \] Однако корректный подход — прямоугольник 4×4 минус угловые области. Упрощая: Фигура восьмиугольник, площадь равна \(8\). Ответ: \(8\).