СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2014 Вариант 2

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Май 2014 год

ФизМат вариант 2

1. Расстояние между точками, в которых парабола \[ y = x^2 + 5p x - 2 \] пересекает ось \(OX\), равно расстоянию между точками, в которых парабола \[ y = x^2 + p x - 20 \] пересекает ось \(OX\). Найдите \(p\).
2. Найдите четыре целых значения \(n\), для которых выражение \[ n^2 + n + 13 \] является квадратом целого числа.
3. В треугольник со сторонами \(AB = 8\), \(BC = 13\) и \(AC = 18\) вписана окружность с центром \(O\). Найдите длину отрезка \(AO\).
4. Выписаны все числа от 17 до 912. Сколько раз в этой записи встречается цифра 0?
5. Сумма шести неотрицательных чисел \(x, y, z, h, p, q\) равна 38. Чему равно наибольшее значение \[ U = xy + zh + pq \] при этом условии?

Решения задач

1. Найдите \( p \), если расстояние между корнями параболы \( y = x^2 + 5p x - 2 \) равно расстоянию между корнями параболы \( y = x^2 + p x - 20 \).
   Решение: Расстояние между корнями квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) равно \( \frac{\sqrt{D}}{a} \). Для первой параболы дискриминант \( D_1 = (5p)^2 + 8 = 25p^2 + 8 \), для второй — \( D_2 = p^2 + 80 \). По условию \( \sqrt{D_1} = \sqrt{D_2} \): \[ 25p^2 + 8 = p^2 + 80 \quad \Rightarrow \quad 24p^2 = 72 \quad \Rightarrow \quad p^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad p = \pm \sqrt{3}. \] Ответ: \( p = \pm \sqrt{3} \).
2. Найдите четыре целых значения \( n \), для которых \( n^2 + n + 13 \) — квадрат целого числа.
   Решение: Пусть \( n^2 + n + 13 = m^2 \). После преобразований: \[ (2n + 1)^2 + 51 = 4m^2 \quad \Rightarrow \quad 4m^2 - (2n + 1)^2 = 51. \] Разложение на множители: \[ (2m - 2n - 1)(2m + 2n + 1) = 51. \] Рассматривая все пары целых делителей числа 51, получаем решения \( n = -13, -4, 3, 12 \).
   Ответ: \( \mathbf{-13}, \mathbf{-4}, \mathbf{3}, \mathbf{12} \).
3. В треугольнике со сторонами \( AB = 8 \), \( BC = 13 \), \( AC = 18 \) найдите длину отрезка \( AO \), где \( O \) — центр вписанной окружности.
   Решение: Полупериметр \( p = \frac{8 + 13 + 18}{2} = 19.5 \). Площадь \( S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = \frac{39\sqrt{23}}{4} \). Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{\sqrt{23}}{2}. \] Формула длины \( AO \): \[ AO = \sqrt{r^2 + (p - BC)^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{23}}{2}\right)^2 + \left(\frac{13}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{23 + 169}{4}} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}. \] Ответ: \( 4\sqrt{3} \).
4. Сколько раз цифра 0 встречается в записи чисел от 17 до 912?
   Решение: Анализ по разрядам:
   • Двузначные числа (17–99): 8 чисел вида \( \_0 \) (20, 30, ..., 90).
   • Трехзначные числа (100–912):
     • Ноль в единицах: норма для сотен 1–8 (\( 8 \times 10 \)) + 2 числа (900, 910) = 82.
     • Ноль в десятках: норма для сотен 1–8 (\( 8 \times 10 \)) + 10 чисел (900–909) = 90.
   Итого: \( 8 + 82 + 90 = 180 \).
   Ответ: 180.
5. Найдите наибольшее значение \( U = xy + zh + pq \), где \( x, y, z, h, p, q \geq 0 \) и их сумма равна 38.
   Решение: Максимум суммы попарных произведений достигается при распределении всех ресурсов в одну пару: \[ x = y = 19 \quad \text{и} \quad z = h = p = q = 0 \quad \Rightarrow \quad U = 19 \times 19 = 361. \] Ответ: 361.