СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2014 Вариант 2

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Июнь 2014 год

ФизМат вариант 2

1. Три числа образуют убывающую арифметическую прогрессию. Если второе число заменить на разность между ним и третьим числом, то они будут образовывать геометрическую прогрессию. Найдите второе и третье числа, если известно, что первое равно 3.
2. Найдите все целочисленные решения системы: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{a - 23}{b - 23} = a - c, \\[6pt] \displaystyle \frac{a - 23}{c - 23} = a - b. \end{cases} \]
3. Трапеция \(KLMN\) вписана в окружность. Найдите радиус этой окружности, если известна боковая сторона \(KL = 6\) и угол между диагоналями, равный \(60^\circ\).
4. На координатной плоскости даны точки \(M(0,-1)\) и \(N(3,-4)\). Найдите координаты точек \(A\) и \(B\), расположенных на прямых \(y=0\) и \(y=-6\), соответственно, таких, что длина ломаной \(MABN\) наименьшая возможная.
5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых разность между наибольшим и наименьшим значениями функции \[ y = x\bigl(\lvert x\rvert - 2\bigr) \] на отрезке \([a,\,a+3]\) достигает наименьшего значения.

Решения задач

1. Три числа образуют убывающую арифметическую прогрессию. Первое число равно 3. Обозначим члены прогрессии как \( a, a + d, a + 2d \), где \( a = 3 \), \( d < 0 \). После замены второго члена на \( (a + d) - (a + 2d) = -d \), новая последовательность \( 3, -d, a + 2d \) должна быть геометрической прогрессией. Знаменатель прогрессии \( q = \frac{-d}{3} \). Третий член геометрической прогрессии: \( -d \cdot q = -d \cdot \frac{-d}{3} = \frac{d^2}{3} \). Приравниваем к \( a + 2d \): \[ \frac{d^2}{3} = 3 + 2d \quad \Rightarrow \quad d^2 - 6d - 9 = 0. \] Корни \( d = 3 \pm 3\sqrt{2} \). Поскольку \( d < 0 \), \( d = 3 - 3\sqrt{2} \). Тогда второе число \( 6 - 3\sqrt{2} \), третье \( 9 - 6\sqrt{2} \).
   Ответ: второе число \( 6 - 3\sqrt{2} \), третье \( 9 - 6\sqrt{2} \).
   
   
2. Система уравнений: \[ \begin{cases} \frac{a - 23}{b - 23} = a - c, \\ \frac{a - 23}{c - 23} = a - b. \end{cases} \] Положим \( b = c \), иначе из уравнений следует \( (a - 23)(24 - b) = -(b^2 - 23b -23) \). Решением целочисленных уравнений является \( a = 27 \), \( b = 25 \), \( c = 25 \).
   Ответ: \( (27, 25, 25) \).
   
   
3. Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренной трапеции \( KLMN \), вычисляется через диагонали и угол между ними. При боковой стороне \( KL = 6 \) и угле между диагоналями \( 60^\circ \), радиус окружности равен 6.
   Ответ: радиус \( 6 \).
   
   
4. Кратчайший путь ломаной \( MABN \) достигается построением отражённых точек. Отразим \( N(3, -4) \) относительно \( y = -6 \), получим \( N'(3, -8) \), затем \( N''(3, 8) \) относительно \( y = 0 \). Прямая \( MN'' \) пересекает \( y = 0 \) в \( A\left(\frac{1}{3}, 0\right) \) и \( y = -6 \) в \( B\left(-\frac{5}{3}, -6\right) \).
   Ответ: \( A\left(\frac{1}{3}, 0\right) \), \( B\left(-\frac{5}{3}, -6\right) \).
   
   
5. Функция \( y = x(|x| - 2) \) на отрезке \([a, a+3]\). Минимальная разность максимума и минимума достигается, когда отрезок содержит вершины парабол \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Анализ случаев даёт \( a \in [-4, 1] \), минимальная разность при \( a = -1 \).
   Ответ: \( a \in [-4, 1] \).