СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2014 Вариант 1

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Май 2014 год

ФизМат вариант 1

1. Расстояние между точками пересечения параболы \[ y = x^2 + 3ax - 4 \] и оси \(OX\) равно расстоянию между точками, в которых парабола \[ y = x^2 + ax - 20 \] пересекает ось \(OX\). Найдите \(a\).
2. Найдите четыре целых значения \(x\), для которых выражение \[ x^2 + x + 10 \] является квадратом целого числа.
3. В треугольник со сторонами \(AB = 6\), \(BC = 7\) и \(AC = 8\) вписана окружность с центром \(O\). Найдите длину отрезка \(AO\).
4. Выписаны все числа от 1 до 837. Сколько раз в этой записи встречается цифра 0?
5. Сумма шести неотрицательных чисел \(a, b, c, d, e, f\) равна 34. Чему равно наибольшее значение \[ S = ab + cd + ef \] при этом условии?

Решения задач

1. Расстояние между точками пересечения параболы \[ y = x^2 + 3ax - 4 \] с осью \(OX\) равно расстоянию между точками пересечения параболы \[ y = x^2 + ax - 20 \] с осью \(OX\). Найдите \(a\).
   Решение: Для первой параболы уравнение \(x^2 + 3ax - 4 = 0\). Расстояние между корнями: \[ \sqrt{(3a)^2 + 16} = \sqrt{9a^2 + 16}. \] Для второй параболы уравнение \(x^2 + ax -20 =0\). Расстояние между корнями: \[ \sqrt{a^2 + 80}. \] Приравняем расстояния: \[ \sqrt{9a^2 + 16} = \sqrt{a^2 + 80} \quad \Rightarrow \quad 8a^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 2\sqrt{2}. \] Ответ: \(\pm 2\sqrt{2}\).
2. Найдите четыре целых значения \(x\), для которых выражение \[ x^2 + x + 10 \] является квадратом целого числа.
   Решение: Пусть \(k^2 = x^2 + x +10\). Преобразуем: \[ 4k^2 = (2x + 1)^2 + 39 \quad \Rightarrow \quad (2k - (2x + 1))(2k + (2x + 1)) = 39. \] Разложим 39 на множители: \[ \begin{cases} 2k - (2x + 1) = 1, \\ 2k + (2x + 1) = 39 \end{cases} \Rightarrow x = 9, \quad k = 10. \] \[ \begin{cases} 2k - (2x + 1) = 3, \\ 2k + (2x + 1) =13 \end{cases} \Rightarrow x = 2, \quad k =4. \] Учитывая отрицательные множители, получаем \(x = -3\), \(x = -10\).
   Ответ: \(-10\), \(-3\), \(2\), \(9\).
3. В треугольник со сторонами \(AB = 6\), \(BC = 7\) и \(AC = 8\) вписана окружность с центром \(O\). Найдите длину отрезка \(AO\).
   Решение: Полупериметр \(p = \frac{6+7+8}{2} = 10.5\). Площадь по формуле Герона: \[ S = \sqrt{10.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5} = \sqrt{\frac{6615}{16}}. \] Расстояние \(AO\) находится по формуле: \[ AO = \sqrt{r^2 + \frac{(b + c - a)^2}{4}}, \quad \text{где } r = \frac{S}{p} = \frac{\sqrt{6615}}{42}. \] Подставив значения: \[ AO = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{6615}}{42}\right)^2 + \frac{(8 + 6 - 7)^2}{4}} = \sqrt{\frac{6615}{1764} + 12.25} = 4. \] Ответ: \(4\).
4. Выписаны все числа от 1 до 837. Сколько раз в этой записи встречается цифра 0?
   Решение:
   • Единицы: Нули встречаются в числах, оканчивающихся на 0: \(10, 20, \ldots, 830\) — всего \(83\) числа.
   • Десятки: Нули встречаются в трёхзначных числах по разряду десятков (100-109, 200-209, \ldots, 800-809) — \(8 \times 10 = 80\) чисел.
   Общее количество нулей: \(83 + 80 = 163\).
   Ответ: \(163\).
5. Сумма шести неотрицательных чисел \(a, b, c, d, e, f\) равна 34. Найти наибольшее значение \[ S = ab + cd + ef \] при этом условии.
   Решение: Максимум суммы произведений достигается при группировке двух наибольших чисел в одну пару. Положим \(a = b = 17\), остальные числа равны 0: \[ S = 17 \cdot 17 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 289. \] Ответ: \(289\).