СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2014 год вариант 1

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Июнь 2014 год

ФизМат вариант 1

1. Три числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если среднее увеличить на 6, то эти числа будут образовывать арифметическую прогрессию. Первое число равно 3, найдите оставшиеся два.
2. Найдите все целочисленные решения системы: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{m - 17}{n - 17} = m - k,\\[6pt] \displaystyle \frac{m - 17}{k - 17} = m - n. \end{cases} \]
3. Трапеция \(ABCD\) вписана в окружность. Найдите радиус этой окружности, если известна боковая сторона \(AB = 4\) и угол между диагоналями, равный \(60^\circ\).
4. На координатной плоскости даны точки \(A(2,1)\) и \(B(-1,2)\). Найдите координаты точек \(M\) и \(N\), расположенных на прямых \(y=0\) и \(y=5\), соответственно, таких, что длина ломаной \(AMNB\) наименьшая возможная.
5. Найдите все значения параметра \(p\), при которых разность между наибольшим и наименьшим значениями функции \[ y = x\bigl(\lvert x\rvert - 2\bigr) \] на отрезке \([p - 3,\,p]\) достигает наименьшего значения.

Решения задач

1. Три числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Первое число равно 3. Если среднее увеличить на 6, то получится арифметическая прогрессия. Найдите остальные два числа.
   Решение: Пусть числа геометрической прогрессии: \(3,\ 3q,\ 3q^2\) (\(q > 1\)). После увеличения среднего на 6: \(3,\ 3q + 6,\ 3q^2\). Для арифметической прогрессии: \[ 2(3q + 6) = 3 + 3q^2 \quad \Rightarrow \quad 3q^2 - 6q - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad q^2 - 2q - 3 = 0 \] Корни: \(q = 3\) (т.к. \(q > 1\)).
   Числа: \(3,\ 9,\ 27\). Проверка арифметической прогрессии: \(3,\ 15,\ 27\) (разность 12).
   Ответ: \(9\) и \(27\).
   
   
2. Найдите все целочисленные решения системы: \[ \begin{cases} \dfrac{m - 17}{n - 17} = m - k, \\[6pt] \dfrac{m - 17}{k - 17} = m - n. \end{cases} \]
   Решение: Подставив отношение из первого уравнения во второе: \[ \dfrac{(m - 17)/(n - 17)}{(m - 17)/(k - 17)} = \dfrac{m - k}{m - n} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{k - 17}{n - 17} = 1 \quad \Rightarrow \quad k = n \] Из первого уравнения при \(k = n\): \[ m - k = \dfrac{m - 17}{k - 17} \quad \Rightarrow \quad m = 21,\ k = 19,\ n = 19. \] Ответ: \((21,\ 19,\ 19)\).
   
   
3. Трапеция \(ABCD\) вписана в окружность. Боковая сторона \(AB = 4\), угол между диагоналями \(60^\circ\). Найдите радиус окружности.
   Решение: Равнобедренная трапеция (вписана в окружность). Пусть угол между диагоналями \(60^\circ\).
   Диагонали равны (\(AC = BD = d\)), пересекаются под углом \(60^\circ\), тогда площадь трапеции: \[ S = \dfrac{d^2 \sin 60^\circ}{2} = \dfrac{d^2 \sqrt{3}}{4} \] Высота трапеции \(h = \dfrac{d\sqrt{3}}{2}\).
   Используя соотношения между сторонами и радиусом описанной окружности: \[ R = \dfrac{\sqrt{(a + b)^2 + 4h^2}}{4} = \dfrac{\sqrt{d^2 \cdot 7}}{4} = \dfrac{d\sqrt{7}}{4} \] Решая систему уравнений и подставляя \(d = 8\), получаем \(R = 4\).
   Ответ: \(4\).
   
   
4. На координатной плоскости точки \(A(2,\ 1)\) и \(B(-1,\ 2)\). Найдите координаты точек \(M\) и \(N\) на прямых \(y=0\) и \(y=5\) соответственно, чтобы длина ломаной \(AMNB\) была минимальной.
   Решение: Отражение точки \(B\) относительно прямой \(y=5\): \(B'(-1,\ 8)\). Прямая \(AB'\) пересекает \(y=0\) в \(M\left(\dfrac{17}{7},\ 0\right)\), а \(y=5\) в \(N\left(\dfrac{2}{7},\ 5\right)\).
   Ответ: \(M\left(\dfrac{17}{7},\ 0\right)\), \(N\left(\dfrac{2}{7},\ 5\right)\).
   
   
5. Найдите значения параметра \(p\), при которых разность между наибольшим и наименьшим значениями функции \(y = x(|x| - 2)\) на отрезке \([p - 3,\ p]\) минимальна.
   Решение: Анализ функции \(y = x(|x| - 2)\): \[ y = \begin{cases} x^2 - 2x, & x \geq 0, \\ -x^2 - 2x, & x < 0. \end{cases} \] Критические точки: \(x = -1\) (максимум \(1\)), \(x = 1\) (минимум \(-1\)).
   Минимальная разность достигается, когда отрезок \([p - 3,\ p]\) содержит оба экстремума: \[ p - 3 \leq -1 \leq p \quad \text{и} \quad p - 3 \leq 1 \leq p \quad \Rightarrow \quad p \in [1,\ 2]. \] Ответ: \(p \in [1,\ 2]\).