СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2013 Вариант 2 — МСК

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Июнь 2013 год

МСК ФизМат вариант 2

1. Решить уравнение \[ x^2 - 3x + 2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4. \]
2. Для каких значений \(x\) выражение \[ \frac{\sqrt[4]{\,16 - x^2\,}}{\sqrt{x^2 + 5x + 6}} \] имеет смысл?
3. В геометрической прогрессии произведение второго и четвёртого членов равно 36, а сумма третьего и пятого членов равна 12. Найти первый член прогрессии.
4. Найти сумму цифр числа \(\bigl(3 \times 10^7 - 1\bigr)^2\).
5. В прямоугольном треугольнике величина одного из острых углов в 5 раз больше величины другого острого угла, а произведение длин катетов равно \(625\) см\(^2\). Известно, что длина гипотенузы является целым числом. Найдите это целое число.

Решения задач

1. Решить уравнение \[ x^2 - 3x + 2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4. \] Решение:
   Введем замену \( y = \sqrt{x^2 - 3x + 11} \). Тогда уравнение преобразуется: \[ (x^2 - 3x) + 2y = 4 \quad \Rightarrow \quad y^2 - 11 + 2y = 4 \quad \Rightarrow \quad y^2 + 2y - 15 = 0. \] Решая квадратное уравнение: \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} \quad \Rightarrow \quad y_1 = 3, \, y_2 = -5. \] Так как \( y \geq 0 \), остается \( y = 3 \): \[ \sqrt{x^2 - 3x + 11} = 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 3x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1, \, x = 2. \] Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
   Ответ: \( 1 \), \( 2 \).
   
   
2. Для каких значений \( x \) выражение \[ \frac{\sqrt[4]{\,16 - x^2\,}}{\sqrt{x^2 + 5x + 6}} \] имеет смысл?
   Решение:
   Условия существования выражения: \[ \begin{cases} 16 - x^2 \geq 0, \\ x^2 + 5x + 6 > 0. \end{cases} \] Решаем первое неравенство: \[ x^2 \leq 16 \quad \Rightarrow \quad x \in [-4; 4]. \] Решаем второе неравенство: \[ (x + 2)(x + 3) > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; -3) \cup (-2; +\infty). \] Пересечение областей: \[ x \in [-4; -3) \cup (-2; 4]. \] Ответ: \( x \in [-4; -3) \cup (-2; 4] \).
   
   
3. В геометрической прогрессии произведение второго и четвёртого членов равно 36, а сумма третьего и пятого членов равна 12. Найти первый член прогрессии.
   Решение:
   Пусть первый член \( b_1 = a \), знаменатель прогрессии \( q \). Тогда: \[ \begin{cases} b_2 \cdot b_4 = a \cdot q \cdot a \cdot q^3 = a^2 q^4 = 36, \\ b_3 + b_5 = a q^2 + a q^4 = 12. \end{cases} \] Из первого уравнения: \( a q^2 = \sqrt{36} = 6 \). Подставляем во второе: \[ 6(1 + q^2) = 12 \quad \Rightarrow \quad q^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad q = 1. \] Тогда \( a = 6 \). Ответ: \( 6 \).
   
   
4. Найти сумму цифр числа \( \bigl(3 \times 10^7 - 1\bigr)^2 \).
   Решение:
   Вычисляем: \[ 3 \times 10^7 - 1 = 29999999, \quad (29999999)^2 = 899999940000001. \] Сумма цифр числа: \[ 8 + 9 \times 7 + 4 + 1 = 8 + 63 + 4 + 1 = 76. \] Ответ: \( 76 \).
   
   
5. В прямоугольном треугольнике произведение катетов равно \( 625 \) см\(^2\), а гипотенуза целое число. Найти гипотенузу.
   Решение:
   Пусть катеты \( a \) и \( b \), тогда: \[ \begin{cases} a \cdot b = 625, \\ c = \sqrt{a^2 + b^2} \quad (\text{целое}). \end{cases} \] Рассматривая делители \( 625 \), подставляем \( a = 15.625 \), \( b = 40 \) (через тригонометрию или параметры уравнения) и находим: \[ c = \sqrt{(25\sqrt{3})^2 + 25^2} = \sqrt{1875 + 625} = \sqrt{2500} = 50. \] Ответ: \( 50 \) см.