СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2013 Вариант 1 — МСК

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Июнь 2013 год

МСК ФизМат вариант 1

1. Решить уравнение \[ x^2 - 4x - 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} = -10. \]
2. Для каких значений \(x\) выражение \[ \frac{\sqrt{16 - x^2}}{\sqrt[4]{\,x^2 - 5x + 6\,}} \] имеет смысл?
3. В геометрической прогрессии произведение второго и четвёртого членов равно 25, а сумма третьего и пятого членов равна 15. Найти первый член прогрессии.
4. Найти сумму цифр числа \(\bigl(2 \times 10^7 - 1\bigr)^2\).
5. В прямоугольном треугольнике величина одного из острых углов в 5 раз меньше величины другого острого угла, а длина гипотенузы равна 64 см. Известно, что произведение длин катетов является целым числом. Найдите это целое число.

Решения задач

1. Решить уравнение \[ x^2 - 4x - 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} = -10. \]
   Решение: Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x^2 - 4x + 20}$. Тогда исходное уравнение примет вид: \[ t^2 - 20 - 3t = -10 \quad \Rightarrow \quad t^2 - 3t - 10 = 0. \] Решаем квадратное уравнение: \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} = \begin{cases} 5 \\ -2 \end{cases}. \] Так как $t \geq 0$, подходит только $t = 5$. Возвращаемся к исходной переменной: \[ \sqrt{x^2 - 4x + 20} = 5 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4x + 20 = 25 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4x -5 = 0. \] Корни уравнения: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} = \begin{cases} 5 \\ -1 \end{cases}. \] Проверка подстановкой показывает, что оба корня удовлетворяют уравнению.
   Ответ: $-1$; $5$.
   
   
2. Для каких значений \(x\) выражение \[ \frac{\sqrt{16 - x^2}}{\sqrt[4]{\,x^2 - 5x + 6\,}} \] имеет смысл?
   Решение: Рассмотрим по отдельности условия существования каждого компонента:
   1. Числитель: $\sqrt{16 - x^2}$ существует при $16 - x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \in [-4; 4]$.
   2. Знаменатель: $\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}$ существует при $x^2 - 5x + 6 > 0$. Решаем неравенство: \[ (x - 2)(x - 3) > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty). \]
   Объединяя условия с учётом $x \neq 2$ и $x \neq 3$, получаем: \[ x \in [-4; 4] \cap \left( (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) \right) = [-4; 2) \cup (3; 4]. \]
   Ответ: \( x \in [-4; 2) \cup (3; 4] \).
   
   
3. В геометрической прогрессии произведение второго и четвёртого членов равно 25, а сумма третьего и пятого членов равна 15. Найти первый член прогрессии.
   Решение: Пусть $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии. Тогда: \[ \begin{cases} b_2 \cdot b_4 = b_1 q \cdot b_1 q^3 = b_1^2 q^4 = 25 \\ b_3 + b_5 = b_1 q^2 + b_1 q^4 = 15 \end{cases}. \] Из первого уравнения: \[ b_1^2 q^4 = 25 \quad \Rightarrow \quad b_1 q^2 = \pm 5. \] Подставляем $b_1 q^2 = t$ во второе уравнение: \[ t + t q^2 = 15 \quad \Rightarrow \quad t(1 + q^2) = 15. \] Если $t = 5$, то: \[ 5(1 + q^2) = 15 \quad \Rightarrow \quad q^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad q = \pm \sqrt{2}. \] Тогда $b_1 = \frac{t}{q^2} = \frac{5}{2}$.
   Ответ: 2,5.
   
   
4. Найти сумму цифр числа \(\bigl(2 \times 10^7 - 1\bigr)^2\).
   Решение: Вычислим значение выражения: \[ (2 \times 10^7 - 1)^2 = (19999999)^2 = 399999960000001. \] Суммируем цифры полученного числа: \[ 3 + 9 \times 6 + 6 + 0 \times 6 + 1 = 3 + 54 + 6 + 0 + 1 = 64. \]
   Ответ: 64.
   
   
5. В прямоугольном треугольнике величина одного из острых углов в 5 раз меньше величины другого острого угла, а длина гипотенузы равна 64 см. Найдите целое значение произведения катетов.
   Решение: Обозначим меньший угол $\alpha$, тогда больший угол $5\alpha$. Сумма углов: \[ \alpha + 5\alpha = 90° \quad \Rightarrow \quad \alpha = 15°, \quad 5\alpha = 75°. \] Катеты треугольника: \[ a = 64 \sin 15°, \quad b = 64 \sin 75°. \] Их произведение: \[ ab = 64^2 \sin 15° \sin 75° = 4096 \cdot \frac{1}{2}(\cos 60° - \cos 90°) = 4096 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1024. \]
   Ответ: 1024.