СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2011 год вариант 2
Печать
youit.school ©
СУНЦ МГУ школа Колмогорова
2011 год
Регион ФизМат Вариант 2
- (2 балла) Решите в целых числах уравнение \[ xy + 2y - 3x = 5. \]
- (2 балла) График квадратичной функции \(f\) проходит через точки \((-6;5)\), \((-3;2)\), \((7;2)\). Чему равно \(f(10)\)?
- (3 балла) Диагонали выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Площади треугольников \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) равны соответственно 21, 12, 8. Точка \(M\) — середина \(BC\). Чему равна площадь \(AMD\)?
- (3 балла) Каждый город некоторой страны соединён дорогой ровно с пятью другими, а среди любых семнадцати городов есть хотя бы одна пара соединённых дорогой. Какое наибольшее количество городов может быть в этой стране?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите в целых числах уравнение
\[
xy + 2y - 3x = 5.
\]
Решение: Преобразуем уравнение:
\[
y(x + 2) = 3x + 5 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3x + 5}{x + 2}.
\]
Для целочисленности дроби выражение \( x + 2 \) должно делитель числителя \( 3x + 5 \). Подстановкой \( x + 2 = d \) получаем:
\[
x = -2 + d, \quad y = 3 - \frac{1}{d}.
\]
Чтобы \( y \) было целым, \( d \) должно быть делителем 1: \( d = \pm 1 \).
При \( d = 1 \Rightarrow x = -1, y = 2 \).
При \( d = -1 \Rightarrow x = -3, y = 4 \).
Ответ: \((-1; 2)\) и \((-3; 4)\).
- График квадратичной функции \(f\) проходит через точки \((-6;5)\), \((-3;2)\), \((7;2)\). Чему равно \(f(10)\)?
Решение:
Точки \((-3; 2)\) и \((7; 2)\) симметричны относительно оси параболы \(x = 2\).
Функция в форме вершины: \(f(x) = a(x - 2)^2 + k\).
Подставляя точки:
\[
\begin{cases}
5 = a(-8)^2 + k \\
2 = a(-5)^2 + k \\
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
64a + k = 5 \\
25a + k = 2 \\
\end{cases}
\]
Вычитая уравнения: \(39a = 3 \Rightarrow a = \frac{1}{13}\), \(k = \frac{1}{13}\). Тогда:
\[
f(10) = \frac{1}{13}(10 - 2)^2 + \frac{1}{13} = \frac{65}{13} = 5.
\]
Ответ: 5.
- Диагонали выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Площади треугольников \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) равны соответственно 21, 12, 8. Точка \(M\) — середина \(BC\). Чему равна площадь \(AMD\)?
Решение:
Отношения отрезков диагоналей: \(AO:OC = 7:4\), \(BO:OD = 3:2\).
Площадь \(AOD = 14\). Общая площадь четырёхугольника: \(21 + 12 + 8 + 14 = 55\).
Точка \(M\) делит \(BC\) пополам. Площадь треугольника \(MBD\) как половина \(BCD\): \( \frac{12 + 8}{2} = 10 \).
Тогда площадь \(AMD = ABD - MBD = (21 + 14) - 10 = 25\).
Ответ: 25.
- Каждый город некоторой страны соединён дорогой ровно с пятью другими, а среди любых семнадцати городов есть хотя бы одна пара соединённых дорогой. Какое наибольшее количество городов может быть в этой стране? Решение: Граф 5-регулярный без независимых множеств размера 17. Дополнение графа не содержит клику размера 17. Согласно теореме Турбина для клик \(T(n,16)\), максимальное \(n\) — 96. Взаимодействие с степенью вершин подтверждает этот результат. Ответ: 96.
Материалы школы Юайти