СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2011 Вариант 2 — Регион

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

2011 год

Регион ФизМат Вариант 2

1. (2 балла) Решите в целых числах уравнение \[ xy + 2y - 3x = 5. \]
2. (2 балла) График квадратичной функции \(f\) проходит через точки \((-6;5)\), \((-3;2)\), \((7;2)\). Чему равно \(f(10)\)?
3. (3 балла) Диагонали выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Площади треугольников \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) равны соответственно 21, 12, 8. Точка \(M\) — середина \(BC\). Чему равна площадь \(AMD\)?
4. (3 балла) Каждый город некоторой страны соединён дорогой ровно с пятью другими, а среди любых семнадцати городов есть хотя бы одна пара соединённых дорогой. Какое наибольшее количество городов может быть в этой стране?

Решения задач

1. Решите в целых числах уравнение \[ xy + 2y - 3x = 5. \] Решение: Преобразуем уравнение: \[ y(x + 2) = 3x + 5 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3x + 5}{x + 2}. \] Для целочисленности дроби выражение \( x + 2 \) должно делитель числителя \( 3x + 5 \). Подстановкой \( x + 2 = d \) получаем: \[ x = -2 + d, \quad y = 3 - \frac{1}{d}. \] Чтобы \( y \) было целым, \( d \) должно быть делителем 1: \( d = \pm 1 \). При \( d = 1 \Rightarrow x = -1, y = 2 \). При \( d = -1 \Rightarrow x = -3, y = 4 \). Ответ: \((-1; 2)\) и \((-3; 4)\).
   
   
2. График квадратичной функции \(f\) проходит через точки \((-6;5)\), \((-3;2)\), \((7;2)\). Чему равно \(f(10)\)? Решение: Точки \((-3; 2)\) и \((7; 2)\) симметричны относительно оси параболы \(x = 2\). Функция в форме вершины: \(f(x) = a(x - 2)^2 + k\). Подставляя точки: \[ \begin{cases} 5 = a(-8)^2 + k \\ 2 = a(-5)^2 + k \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 64a + k = 5 \\ 25a + k = 2 \\ \end{cases} \] Вычитая уравнения: \(39a = 3 \Rightarrow a = \frac{1}{13}\), \(k = \frac{1}{13}\). Тогда: \[ f(10) = \frac{1}{13}(10 - 2)^2 + \frac{1}{13} = \frac{65}{13} = 5. \] Ответ: 5.
   
   
3. Диагонали выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Площади треугольников \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) равны соответственно 21, 12, 8. Точка \(M\) — середина \(BC\). Чему равна площадь \(AMD\)? Решение: Отношения отрезков диагоналей: \(AO:OC = 7:4\), \(BO:OD = 3:2\). Площадь \(AOD = 14\). Общая площадь четырёхугольника: \(21 + 12 + 8 + 14 = 55\). Точка \(M\) делит \(BC\) пополам. Площадь треугольника \(MBD\) как половина \(BCD\): \( \frac{12 + 8}{2} = 10 \). Тогда площадь \(AMD = ABD - MBD = (21 + 14) - 10 = 25\). Ответ: 25.
   
   
4. Каждый город некоторой страны соединён дорогой ровно с пятью другими, а среди любых семнадцати городов есть хотя бы одна пара соединённых дорогой. Какое наибольшее количество городов может быть в этой стране? Решение: Граф 5-регулярный без независимых множеств размера 17. Дополнение графа не содержит клику размера 17. Согласно теореме Турбина для клик \(T(n,16)\), максимальное \(n\) — 96. Взаимодействие с степенью вершин подтверждает этот результат. Ответ: 96.