СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2011 Вариант 1 — Регион

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

2011 год

Регион ФизМат Вариант 1

1. (2 балла) Решите в целых числах уравнение \[ xy - 2x + 3y = 5. \]
2. (2 балла) График квадратичной функции \(f\) проходит через точки \((-7;4)\), \((-3;1)\), \((5;1)\). Чему равно \(f(9)\)?
3. (3 балла) Диагонали выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Площади треугольников \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) равны соответственно 15, 10, 21. Точка \(M\) — середина \(BC\). Чему равна площадь \(AMD\)?
4. (3 балла) Каждый город некоторой страны соединён дорогой ровно с семью другими, а среди любых тринадцати городов есть хотя бы одна пара соединённых дорогой. Какое наибольшее количество городов может быть в этой стране?

Решения задач

1. Решите в целых числах уравнение \[ xy - 2x + 3y = 5. \] Решение: Преобразуем уравнение: \[ xy - 2x + 3y = 5 \implies x(y - 2) +3y =5 \implies x(y -2)=5 - 3y. \] Тогда: \[ x = \frac{5 - 3y}{y - 2} = \frac{-(3y -5)}{y - 2} = -3 + \frac{1}{y - 2}. \] Чтобы \(x\) был целым, выражение \(\frac{1}{y - 2}\) должно быть целым. Значит, \(y -2\) — делитель 1. Возможные значения: \[ y -2 = \pm1 \implies y = 3 \text{ или } y=1. \] При \(y =1\): \[ x = -3 + \frac{1}{1 -2} = -3 -1 = -4. \] При \(y=3\): \[ x = -3 + \frac{1}{3 -2} = -3 +1 = -2. \] Ответ: \((-4;3)\), \((-2;1)\).
   
   
2. График квадратичной функции \(f\) проходит через точки \((-7;4)\), \((-3;1)\), \((5;1)\). Чему равно \(f(9)\)?
   Решение: Точки \((-3;1)\) и \((5;1)\) симметричны относительно оси параболы \(x = \frac{-3+5}{2} =1\). Запишем уравнение функции в виде \(f(x) = a(x-1)^2 +c\). Подставим точку \((-7;4)\): \[ 4 = a(-7-1)^2 +c \implies 64a + c =4. \] Подставим точку \((5;1)\): \[ 1 = a(5-1)^2 +c \implies 16a +c =1. \] Вычитая уравнения: \[ 48a =3 \implies a = \frac{1}{16}. \] Тогда: \[ c=1 -16 \cdot \frac{1}{16} =0. \] Уравнение функции: \(f(x)=\frac{1}{16}(x-1)^2\). Находим \(f(9)\): \[ f(9)=\frac{1}{16}(9-1)^2 =\frac{1}{16} \cdot64=4. \] Ответ: 4.
   
   
3. Диагонали выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Площади треугольников \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) равны соответственно 15, 10, 21. Точка \(M\) — середина \(BC\). Чему равна площадь \(AMD\)?
   Решение:
   • Отношение \(AO:OC = 15:10 = 3:2\). Аналогично для треугольников \(COD\) и \(AOD\): отношение площадей \(COD:AOD =2:3 \implies S_{AOD} = \frac{3}{2} \cdot21 =31,5\).
   • Координатная система: \(O\) — начало координат; \(AC\) по оси \(x\): \(A=(3,0), C=(-2,0)\); диара гони перпендикулярны, тогда \(B=(0,10)\), \(D=(0,-21)\) (масштабирование для упрощения).
   • Точка \(M\) (середина \(BC\)): \(M=(-1,5)\).
   • Площадь треугольника \(AMD\) через координаты: \[ S = \frac{1}{2} |3(5 +21) + (-1)(-21 -0)| = \frac{1}{2} |78 +21| =49,5. \]
   Ответ: 49,5.
   
   
4. Каждой город соединён с 7 другими. Среди любых 13 городов есть хотя бы одно ребро. Найдите наибольшее количество городов.
   Решение:
   • Дополнение графа не содержит независимых множеств размера 13. По теореме Турана максимальное количество вершин в графе без клики на \(s\) вершинах есть \(T(n, s-1)\).
   • Оценка количества рёбер дополнения: \(\frac{n(n-8)}{2} \leq \frac{11n^2}{24}\). Решение неравенства \(n \leq96\).
   • Для \(n=96\) граф 7-регулярный и его дополнение удовлетворяет условию.
   Ответ:96.