СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2011 Вариант 1 — МСК

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

2011 год

МСК ФизМат Вариант 1

1. Известно, что число \[ (\sqrt{40} - \sqrt{24}) \,\sqrt{4 - \sqrt{15}}\,(4 + \sqrt{15}) \] является целым. Найти это целое число.
2. Сумма нескольких последовательных натуральных чисел равна 448. Найти все такие наборы чисел.
   
   
3. На стороне \(AB\) треугольника \(ABC\) отмечена точка \(D\), а на отрезке \(CD\) отмечена точка \(E\), причём \[ AD : DB = CE : ED. \] Площадь треугольника \(BCE\) равна 12. Какова наименьшая возможная площадь треугольника \(ABC\)?
   
   
4. На плоскости отмечено 4 красных, 5 синих и 7 зелёных точек. Сколько существует различных треугольников с вершинами в этих точках, у которых не все вершины окрашены в один цвет и не все вершины окрашены в разные цвета (например, две вершины красные и одна синяя)?
   
   
5. Известно, что функция \[ f(x) = x^3 - x - 3 \] имеет единственный корень \(a > 1\). Что больше: \(a\) или \(\sqrt[5]{7}\)?

Решения задач

1. Вычислим выражение: \[ (\sqrt{40} - \sqrt{24}) \cdot \sqrt{4 - \sqrt{15}} \cdot (4 + \sqrt{15}) \] Заметим, что \((4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15}) = 16 - 15 = 1\), тогда: \[ \sqrt{4 - \sqrt{15}} \cdot (4 + \sqrt{15}) = \frac{(4 + \sqrt{15})}{\sqrt{4 + \sqrt{15}}} \cdot \sqrt{4 + \sqrt{15}} = \sqrt{4 + \sqrt{15}} \] Теперь преобразуем исходное выражение: \[ (\sqrt{40} - \sqrt{24}) \cdot \sqrt{4 + \sqrt{15}} = 2(\sqrt{10} - \sqrt{6}) \cdot \sqrt{4 + \sqrt{15}} \] Возведём в квадрат для упрощения: \[ [2(\sqrt{10} - \sqrt{6}) \cdot \sqrt{4 + \sqrt{15}}]^2 = 4(16 - 4\sqrt{15})(4 + \sqrt{15}) = 4 \cdot 4 = 16 \] Значит, исходное выражение равно \(4\).
   Ответ: 4.
   
   
2. Найдём последовательные натуральные числа: Сумма \(m\) чисел: \(S = \frac{m(2a + m - 1)}{2} = 448\)
   Решаем уравнение \(m(2a + m - 1) = 896\):
   • \(m = 1\): \(a = 448\)
   • Рассматривая делители \(896\), подходит \(m = 7\): \[ a = \frac{896/7 - 7 + 1}{2} = 61 \] Последовательность: \(61, 62, 63, 64, 65, 66, 67\)
   
   Ответ: Один набор — \(448\), второй — 7 чисел от 61 до 67.
   
   
3. Минимальная площадь треугольника \(ABC\): Пусть отношение \(AD : DB = k : 1\) и \(CE : ED = k : 1\). Площадь \(BCE = 12\): \[ \text{Площадь } BCE = \frac{k}{(k+1)^2}S \Rightarrow S = \frac{12(k+1)^2}{k} \] Минимизируем \(S(k)\): \[ k = 1 \Rightarrow S_{\text{min}} = 12 \cdot 4 = 48 \]
   Ответ: 48.
   
   
4. Количество треугольников: Всего треугольников: \(C(16, 3) = 560\)
   Исключаем монохромные (\(C(4,3) + C(5,3) + C(7,3) = 49\)) и трёхцветные (\(4 \cdot 5 \cdot 7 = 140\)): \[ 560 - 49 - 140 = 371 \]
   Ответ: 371.
   
   
5. Сравнение корней: Значение функции \(f(x) = x^3 - x - 3\) при \(x = \sqrt[5]{7}\): \[ (\sqrt[5]{7})^3 - \sqrt[5]{7} - 3 \approx 7^{0.6} - 7^{0.2} - 3 < 0 \] Следовательно, корень \(a\) лежит правее \(\sqrt[5]{7}\).
   Ответ: \(a > \sqrt[5]{7}\).