СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2013 год вариант 4

1. Пекарня производит не более 70 пирожков в день. Среди испечённых сегодня пирожков 52% — с капустой. Если же три пирожка не считать, то пирожки с капустой составят ровно половину оставшихся. Сколько пирожков испекла пекарня сегодня?
2. Найдите все целые решения уравнения \[ \Bigl(2\cos\tfrac{\pi y}{3}-1\Bigr)\,\sqrt{55 + 17y - 2y^2} \;=\; 0. \]
3. Найдите все действительные числа \(x\), такие что наибольшее целое число, не превосходящее \(3x^2 - 4x + 1\), равно \(1 - 6x\).
4. В треугольнике \(ABC\) вершины \(A\), \(B\) и точка пересечения высот лежат на одной окружности с основаниями биссектрис, проведённых из \(A\) и \(B\). Найдите углы треугольника.
5. Найдите наименьшее значение выражения \[ \sqrt{\,10 - 6y + y^2\,} \;+\; \sqrt{\,2 + 2y + y^2\,}, \] если \(y\) — произвольное действительное число.

1. 25 пирожков
2. \(\{-1;\;1;\;5;\;7;\;11\}\)
3. \(\displaystyle\Bigl[-\tfrac56;-\tfrac23\Bigr]\cup[0;\tfrac13)\)
4. \(C=3\pi/7,\quad A=B=2\pi/7\).
   (в полном решении надо рассмотреть случай \(\angle C\ge90^\circ\))
5. \(2\sqrt5\)

Решения задач

1. Пекарня производит не более 70 пирожков в день. Среди испечённых сегодня пирожков 52% — с капустой. Если же три пирожка не считать, то пирожки с капустой составят ровно половину оставшихся. Сколько пирожков испекла пекарня сегодня?
   Решение: Пусть $N$ — общее количество пирожков. Тогда пирожков с капустой $0,52N$. После удаления 3 пирожков останется $N - 3$ пирожков, из них с капустой будет $0,52N - x$, где $x$ — количество удалённых пирожков с капустой ($x \leq 3$). По условию: \[ \frac{0,52N - x}{N - 3} = \frac{1}{2} \] Преобразуем уравнение: \[ 1,04N - 2x = N - 3 \quad \Rightarrow \quad 0,04N - 2x = -3 \] Учитывая, что $N$ должно быть целым и $0,52N$ — целое число, $N$ кратно 25. Проверяем $N = 25$: \[ 0,04 \cdot 25 = 1, \quad 1 - 2x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] Проверка: $0,52 \cdot 25 = 13$ пирожков с капустой. После удаления $2$ капустных и $1$ некапустного пирожков останется $13 - 2 = 11$ капустных и $25 - 3 = 22$ пирожка. Соотношение $11/22 = 1/2$ выполняется.
   Ответ: $\boxed{25}$.
2. Найдите все целые решения уравнения \[ \Bigl(2\cos\tfrac{\pi y}{3}-1\Bigr)\,\sqrt{55 + 17y - 2y^2} \;=\; 0. \]
   Решение: Уравнение обращается в ноль, если:
   • $2\cos\left(\frac{\pi y}{3}\right) - 1 = 0$, тогда: \[ \cos\left(\frac{\pi y}{3}\right) = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{\pi y}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad y = \pm 1 + 6k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   • $\sqrt{55 + 17y - 2y^2} = 0$, тогда: \[ 55 + 17y - 2y^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y_1 = -2,5;\ y_2 = 11 \]
   Учитывая целочисленность $y$ и решение квадратного неравенства $55 + 17y - 2y^2 \geq 0$ ($y \in [-2,5; 11]$), целочисленные решения: \[ y = -1, 1, 5, 7, 11 \] Ответ: $\boxed{-1,\ 1,\ 5,\ 7,\ 11}$.
3. Найдите все действительные числа \(x\), такие что наибольшее целое число, не превосходящее \(3x^2 - 4x + 1\), равно \(1 - 6x\).
   Решение: Обозначим $\lfloor 3x^2 - 4x + 1 \rfloor = 1 - 6x$. Это означает: \[ 1 - 6x \leq 3x^2 -4x + 1 < 1 -6x + 1 \] Решая неравенства:
   1. $1 -6x \leq 3x^2 -4x +1$ приводит к $x(3x + 2) \geq 0$.
   2. $3x^2 -4x +1 < 2 -6x$ приводит к $-1 < x < \frac{1}{3}$.
   Пересечение условий даёт $-1 < x \leq -\frac{2}{3}$ или $0 \leq x < \frac{1}{3}$. $1 -6x$ должно быть целым. Проверка подходящих значений: \[ x = -\frac{5}{6},\ 0,\ \frac{1}{6} \] Ответ: $\boxed{-\dfrac{5}{6},\ 0,\ \dfrac{1}{6}}$.
4. В треугольнике \(ABC\) вершины \(A\), \(B\) и точка пересечения высот лежат на одной окружности с основаниями биссектрис, проведённых из \(A\) и \(B\). Найдите углы треугольника.
   Решение: По условию, окружность проходит через точки \(A\), \(B\), \(H\) (ортоцентр) и основания биссектрис. Такое возможно, если треугольник равносторонний, где основания биссектрис совпадают с вершинами. Анализ показывает, что треугольник является прямоугольным с углом $90^\circ$ при вершине \(C\) и углами по $45^\circ$.
   Ответ: Углы треугольника равны $90^\circ,\ 45^\circ,\ 45^\circ$.
5. Найдите наименьшее значение выражения \[ \sqrt{\,10 - 6y + y^2\,} \;+\; \sqrt{\,2 + 2y + y^2\,}, \] если \(y\) — произвольное действительное число.
   Решение: Преобразуем подкоренные выражения: \[ \sqrt{(y - 3)^2 + 1} + \sqrt{(y + 1)^2 + 1} \] Минимум суммы расстояний от точки $(y, 0)$ до $(3, 1)$ и $(-1, 1)$ достигается при симметрии и равен $2\sqrt{5}$. Подстановкой $y = 1$: \[ \sqrt{(1 - 3)^2 + 1} + \sqrt{(1 + 1)^2 + 1} = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} ≈ 4,472 \] Ответ: $\boxed{2\sqrt{5}}$.