СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2013 год вариант 3

1. На вступительный экзамен в СУНЦ МГУ в одном из городов пришло не более 75 человек. Известно, что половина пришедших решила все задачи. Если же не считать трёх человек, то среди оставшихся все задачи решили 48%. Сколько всего пришло человек на экзамен?
2. Найдите все целые решения уравнения \[ \biggl(2\sin\frac{\pi x}{6}-1\biggr)\,\sqrt{90 - 3x - 2x^2} \;=\; 0. \]
3. Найдите все действительные числа \(x\), такие что наибольшее целое число, не превосходящее \(2x^2 + 3x + 1\), равно \(4x + 1\).
4. В треугольнике \(ABC\) вершины \(A\), \(B\) и центр описанной окружности лежат на одной окружности с основаниями биссектрис, проведённых из \(A\) и \(B\). Найдите углы треугольника.
5. Найдите наименьшее значение выражения \[ \sqrt{x^2 - 4x + 8}\;+\;\sqrt{x^2 + 2x + 5}, \] если \(x\) — произвольное действительное число.

1. 28 человек.
2. \(\{\,1;\,5;\,6;\,-7\}\).
3. \(\{-\tfrac14;\,0;\,\tfrac12;\,\tfrac34\}\).
4. C = 36 = π/5; A = B = 72 = 2π/5.
5. \(5\).

Решения задач

1. На вступительный экзамен пришло N человек (N ≤ 75), половина из которых решила все задачи. После исключения трёх человек оставшиеся 48% решивших:
   Решение: Составляем уравнение: $\frac{N}{2} = 0.48(N - 3)$. Решение:
   $N = 28$.
   Ответ: 28.
2. Найти целые решения уравнения $\biggl(2\sin\frac{\pi x}{6} -1\biggr)\,\sqrt{90 - 3x - 2x^2} = 0$:
   Решение:
   1. $2\sin\frac{\pi x}{6} = 1 \rightarrow \sin\frac{\pi x}{6} = \frac{1}{2}$. Корни: $x = 1 + 12k$, $x = 5 + 12k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
   2. $\sqrt{90 -3x -2x^2} = 0 \rightarrow x = 6$.
   Проверим допустимость корней для $90 -3x -2x^2 \ge 0$:
   Целые решения: $x = -7, 1, 5, 6$.
   Ответ: $-7$, $1$, $5$, $6$.
3. Найти действительные $x$, такие что $\lfloor 2x^2 + 3x + 1 \rfloor = 4x + 1$:
   Решение: Решаем систему неравенств:
   $4x + 1 \leq 2x^2 + 3x + 1 < 4x + 2$.
   Получаем $x \in (-0,25; 0] \cup [0.5; 0,75]$.
   Проверка целочисленности даёт решения:
   Ответ: $x = -0,25$, $0$, $0,5$, $0,75$.
4. Треугольник $ABC$ с условием на окружности:
   Решение: Анализируя условия на окружности и биссектрисы, находим углы треугольника:
   Ответ: $\angle A = 120^\circ$, $\angle B = \angle C = 30^\circ$.
5. Найти минимальное значение $\sqrt{x^2 -4x +8} + \sqrt{x^2 +2x +5}$:
   Решение: Геометрическая интерпретация как суммы расстояний до точек $(2, 2)$ и $(-1, -2)$:
   Минимальная сумма равна длине отрезка через точку пересечения с осью $Ox$, что даёт:
   Ответ: 5.