СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2013 год вариант 2

1. Тринадцатый член геометрической прогрессии равен 5, а произведение второго, четвёртого и пятого членов равно 80. Найдите первый член прогрессии.
2. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) – корни уравнения \(x^2 - 19x - 11 = 0\). Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}.\)
3. В треугольнике стороны равны 3 и 4, а его площадь равна \(\displaystyle \frac{3\sqrt{15}}{4}\). Найдите третью сторону треугольника, если известно, что медиана, проведённая к этой стороне, больше её половины.
4. Определите, какое из положительных чисел \(a\) и \(b\) больше, если известно, что \(a(1 - 2b) > \tfrac{1}{8}\). Ответ обосновать.
5. Дан правильный десятиугольник. Рассматриваются четырёхугольники с вершинами в вершинах этого десятиугольника. Сколько из них имеют ось симметрии, но не имеют центра симметрии?

1. (0.5) \(2\sqrt{160}.\)
2. (1) \(\dfrac{7486}{121}\) (дробь).
3. (1) \(2.\)
4. (1) \(a > b.\)
5. (1.5) \(80.\)

Решения задач

1. Тринадцатый член геометрической прогрессии равен 5, а произведение второго, четвёртого и пятого членов равно 80. Найдите первый член прогрессии.
   Решение: В геометрической прогрессии $b_{n} = b_1 \cdot q^{n-1}$. По условию: \[ \begin{cases} b_{13} = b_1 q^{12} = 5 \\ b_2 b_4 b_5 = (b_1 q)(b_1 q^3)(b_1 q^4) = b_1^3 q^8 = 80 \end{cases} \] Возведём первое уравнение в куб и поделим на второе: \[ \frac{(b_1 q^{12})^3}{b_1^3 q^8} = \frac{125}{80} \Rightarrow q^{28} = \frac{25}{16} \Rightarrow q = \left(\frac{5}{4}\right)^{1/14} \] Подставляя $q$ в первое уравнение: \[ b_1 = \frac{5}{\left(\frac{5}{4}\right)^{12/14}} = 5 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{6/7} \] Для упрощения получаем $b_1 = \boxed{5}$.
2. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) – корни уравнения \(x^2 - 19x - 11 = 0\). Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}.\)
   Решение: Используем тождество: \[ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} \] По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 19$, $x_1 x_2 = -11$. Тогда: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 19^2 - 2(-11) = 383 \] Подставляя: \[ \frac{383}{-11} = -\frac{383}{11} = \boxed{-34\frac{9}{11}} \]
3. В треугольнике стороны равны 3 и 4, а его площадь равна \(\displaystyle \frac{3\sqrt{15}}{4}\). Найдите третью сторону треугольника, если известно, что медиана, проведённая к этой стороне, больше её половины.
   Решение: Площадь треугольника через синус угла: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin \alpha = \frac{3\sqrt{15}}{4} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{8} \] Найдём $\cos \alpha$: \[ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{\frac{49}{64}} = \frac{7}{8} \] По теореме косинусов: \[ c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{7}{8} = 25 - 21 = 4 \Rightarrow c = \boxed{2} \]
4. Определите, какое из положительных чисел \(a\) и \(b\) больше, если известно, что \(a(1 - 2b) > \tfrac{1}{8}\). Ответ обосновать.
   Решение: Преобразуем неравенство: \[ a - 2ab > \frac{1}{8} \Rightarrow a(1 - 2b) > \frac{1}{8} \] Предположим $a \leq b$. Тогда $1 - 2b \frac{1}{2}$), что приводит к противоречию с положительностью левой части. Следовательно, $a > b$.
   Ответ: $\boxed{a > b}$.
5. Дан правильный десятиугольник. Рассматриваются четырёхугольники с вершинами в вершинах этого десятиугольника. Сколько из них имеют ось симметрии, но не имеют центра симметрии?
   Решение: Каждая ось симметрии десятиугольника (10 осей: 5 через вершины, 5 через середины сторон) определяет по 4 различных четырёхугольника. Учитывая отсутствие центральной симметрии: \[ 10 \cdot 4 = \boxed{40} \]