СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2015 год вариант 2

1. Сумма \(n>1\) последовательных нечётных натуральных чисел равна 119. Найдите все \(n\), при которых это возможно.
2. Сколько различных 7-буквенных слов (не обязательно осмысленных) можно составить из букв «М», «Г», «У» при условии, что две гласных не могут стоять рядом и две согласных не могут стоять рядом? Каждую букву можно использовать произвольное число раз.
3. Найти все пары простых чисел \(p, q\) таких, что \[ p^q + q^p = 2^{p+1} + 1. \]
4. В правильном тетраэдре \(ABCD\) с ребром 4 точка \(N\) делит ребро \(AB\) в отношении \(AN\!:\!NB=3\!:\!1\), точка \(M\) делит ребро \(BC\) в отношении \(BM\!:\!MC=3\!:\!1\). Через прямую \(MN\) проведена секущая плоскость так, что в сечении получилась трапеция. Найти площадь этого сечения.
5. При каких значениях параметра \(b\) уравнение \[ \frac{(x^2 - x - 2)\,(4x^2 - 8x - 12)\,(x^2 - 5x + 6)} {(x^2 + 3x + 2)\,(x^2 - x - 6)\,(9x^2 - 18x - 27)} = b^2 \] имеет ровно два корня?

Решения задач

1. Сумма \(n>1\) последовательных нечётных натуральных чисел равна 119. Найдите все \(n\), при которых это возможно.
   Решение: Пусть первое число последовательности равно \(a\). Тогда сумма \(n\) последовательных нечётных чисел: \[ S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1) \cdot 2] = n(a + n - 1) \] Уравнение \(n(a + n - 1) = 119\). Так как \(119 = 7 \cdot 17\) делители \(n > 1\): 7 и 17.
   При \(n = 7\): \(7(a + 6) = 119 \Rightarrow a = 11\). Числа: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 — сумма 119.
   При \(n = 17\): \(a\) отрицательное (\(17(a + 16) = 119 \Rightarrow a = -9\)), что не натуральное.
   Ответ: \(n = 7\).
   Ответ: $\boxed{7}$
2. Сколько различных 7-буквенных слов можно составить из букв «М», «Г», «У» при условии чередования гласных и согласных?
   Решение: Гласные: Г, У; согласная: М. Чередование возможно двух типов:
   • а) Начинается с гласной: Г/У — М — Г/У — М — Г/У — М — Г/У.
     Количество вариантов: \(2^4 \cdot 1^3 = 16\).
   • б) Начинается с согласной: М — Г/У — М — Г/У — М — Г/У — М.
     Количество вариантов: \(1^4 \cdot 2^3 = 8\).
   Общее количество: \(16 + 8 = 24\).
   Ответ: $\boxed{24}$
3. Найти все пары простых чисел \(p, q\) таких, что \(p^q + q^p = 2^{p+1} + 1\).
   Решение: Проверяем малые простые числа.
   При \(p = 2\): уравнение \(2^q + q^2 = 9\). Не подходит.
   При \(q = 2\): уравнение \(p^2 + 2^p = 2^{p+1} + 1\). Решаем для \(p = 3\):
   \(3^2 + 2^3 = 9 + 8 = 17 ≠ 17\). Пара \(p = 3\), \(q = 2\). Проверка: \(3^2 + 2^3 = 9 + 8 = 17 = 2^{4} + 1 = 17\). Идеально.
   Другие комбинации не дают решений.
   Ответ: \(\boxed{(3, 2)}\)
4. В правильном тетраэдре \(ABCD\) с ребром 4 точки \(N\) и \(M\) делят рёбра \(AB\) и \(BC\) в отношении 3:1. Найти площадь сечения — трапеции через \(MN\).
   Решение: Площадь трапеции рассчитывается через основания \(MN\) и \(KL\), высоту.
   Координаты: \(N(3,0,0)\), \(M(2.5, \frac{3\sqrt{3}}{2},0)\). Расстояние \(MN = \sqrt{0.5^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{7}\).
   Сечение пересекает рёбра \(AD\) и \(CD\) в точках \(K\) и \(L\). Расстояния и углы приводят к высоте трапеции \(\sqrt{6}\).
   Площадь: \(S = \frac{(\sqrt{7} + 3\sqrt{7})}{2} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6}\).
   Ответ: \(\boxed{3\sqrt{6}}\)
5. При каких значениях параметра \(b\) уравнение имеет ровно два корня? \[ \frac{(x^2 - x - 2)(4x^2 - 8x - 12)(x^2 - 5x + 6)}{(x^2 + 3x + 2)(x^2 - x - 6)(9x^2 - 18x - 27)} = b^2 \]
   Решение: После упрощения дробь равна \(\frac{4(x-2)^2}{9(x+2)^2}\). Уравнение принимает вид: \[ \left|\frac{2(x-2)}{3(x+2)}\right| = |b| \] Решения: \(x = \frac{6b + 4}{2 - 3b}\) и \(x = \frac{4 - 6b}{2 + 3b}\). Условия исключения корней \(x = -1, 3\) приводят к исключениям \(b = 0, \pm2, \pm\frac{2}{15}\).
   Ответ: Все \(b\), кроме \(\boxed{b = 0,\ \pm2,\ \pm\frac{2}{15}}\).