СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2015 год вариант 1

1. Сумма \(n>1\) последовательных нечётных натуральных чисел равна 143. Найдите все \(n\), при которых это возможно.
2. Сколько различных 6-буквенных слов (не обязательно осмысленных) можно составить из букв «С», «У», «Н», «Ц» при условии, что две гласных не могут стоять рядом и две согласных не могут стоять рядом? Каждую букву можно использовать произвольное число раз.
3. Найти все пары простых чисел \(p, q\) таких, что \[ p^q - q^p = 2^{p-1} - 3. \]
4. В правильном тетраэдре \(ABCD\) с ребром 3 точка \(K\) делит ребро \(AB\) в отношении \(AK\!:\!KB=2\!:\!1\), точка \(T\) делит ребро \(BC\) в отношении \(BT\!:\!TC=2\!:\!1\). Через прямую \(KT\) проведена секущая плоскость так, что в сечении получилась трапеция. Найти площадь этого сечения.
5. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ \frac{(x^2 + x - 2)(x^2 + 5x + 6)(4x^2 + 8x - 12)}{(x^2 - 3x + 2)(9x^2 + 18x - 27)(x^2 + x - 6)} = a^2 \] имеет ровно два корня?

Решения задач

1. Сумма \(n>1\) последовательных нечётных натуральных чисел равна 143. Найдите все \(n\), при которых это возможно.
   Решение: Пусть последовательность состоит из \(n\) последовательных нечётных чисел, начиная с числа \(k\). Тогда:
   Первый член: \(k\),
   Последний член: \(k + 2(n - 1)\),
   Сумма арифметической прогрессии: \[ S = \frac{(k + (k + 2(n - 1))) \cdot n}{2} = n(k + n - 1) = 143 \]
   143 разложим на множители: \(143 = 11 \times 13\). Проверяем делители \(n = 11\) и \(n = 13\):
   Для \(n = 11\): \(11(k + 10) = 143 \Rightarrow k = 3\) (подходит),
   Для \(n = 13\): \(13(k + 12) = 143 \Rightarrow k = -1\) (не натуральное).
   Ответ: $\boxed{11}.$
2. Сколько различных 6-буквенных слов можно составить из букв «С», «У», «Н», «Ц» при условии, что две гласных не могут стоять рядом и две согласных не могут стоять рядом?
   Решение: Чередование букв возможно как «ГСГСГС» или «СГСГСГ». Для каждого варианта:
   Гласные: 1 вариант («У»),
   Согласные: 3 варианта («С», «Н», «Ц»).
   Число комбинаций: \[ 1 \times 3 \times 1 \times 3 \times 1 \times 3 + 3 \times 1 \times 3 \times 1 \times 3 \times 1 = 27 + 27 = 54 \]
   Ответ: $\boxed{54}.$
3. Найти все пары простых чисел \(p, q\) таких, что \[ p^q - q^p = 2^{p-1} - 3. \]
   Решение: Проверка малых простых чисел:
   При \(p = 2\): \(2^q - q^2 = -1\). Подходит \(q = 3\) (пара (2, 3)).
   При \(q = 2\): \(p^2 - 2^p = 2^{p-1} - 3\). Подходит \(p = 3\) (пара (3, 2)).
   Остальные варианты не дают решения.
   Ответ: $\boxed{(2, 3)} и \boxed{(3, 2)}.$
4. В правильном тетраэдре \(ABCD\) с ребром 3 точка \(K\) делит ребро \(AB\) в отношении \(2:1\), точка \(T\) делит ребро \(BC\) в отношении \(2:1\). Через прямую \(KT\) проведена секущая плоскость так, что в сечении получилась трапеция. Найти площадь этого сечения.
   Решение: Сечение — трапеция \(KTLM\) с основаниями \(KT\) и \(LM\). Используя координаты точек и векторы, находим:
   Длина \(KT = \sqrt{\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{10}{3}}\),
   Высота трапеции через скалярное произведение: \(h = \sqrt{\frac{55}{12}}\),
   Площадь: \[ S = \frac{\sqrt{\frac{10}{3}} + \sqrt{\frac{10}{3}}}{2} \times \sqrt{\frac{55}{12}} = \frac{\sqrt{55}}{2} \]
   Ответ: $\boxed{\dfrac{\sqrt{55}}{2}}.$
5. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ \frac{(x^2 + x - 2)(x^2 + 5x + 6)(4x^2 + 8x - 12)}{(x^2 - 3x + 2)(9x^2 + 18x - 27)(x^2 + x - 6)} = a^2 \] имеет ровно два корня?
   Решение: После сокращения дробь принимает вид: \[ \frac{4(x + 2)^2}{9(x - 2)^2} = a^2 \]
   Решаем относительно \(x\): \[ \frac{x + 2}{x - 2} = \pm \frac{3}{2}a \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2(3a \pm 2)}{3a \mp 2} \]
   Учитывая область определения (\(x \neq 1, 2, -3\)), получаем, что уравнение имеет два корня при \(a \neq 0\) и исключении значений, приводящих к \(x = 1\), \(x = 2\) или \(x = -3\). Это возможно для любых \(a\), кроме \(a = 0\).
   Ответ: $\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}}.$