СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2019 год вариант 9

1. В 12:00 из пункта \(A\) вышел пешеход, а в 14:00 вслед за ним отправились два велосипедиста. Первый велосипедист догнал пешехода на 1 ч раньше, чем второй. Если бы второй велосипедист выехал из пункта \(A\) на 30 мин раньше, то догнал бы пешехода одновременно с первым. В какой момент первый велосипедист догнал пешехода?
2. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 2\) и \(AD = 5\) через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(AO\). В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
3. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\tfrac{x_2}{x_1}\) и \(\tfrac{x_1}{x_2}\), где \(x_1, x_2\) — корни уравнения \[ x^2 + 2019x - 1 = 0. \]
4. Последовательность \(b_1,b_2,\dots\) — геометрическая прогрессия. При каком значении её знаменателя \(b_1, b_2, b_4\) — арифметическая прогрессия?
5. Решите уравнение \[ \sqrt[2019]{x} + 5x^3 + \sqrt[2019]{1-4x} + 5(1-4x)^3 = 0. \]

1. 15 ч. 00 мин.
2. 31:25
3. \(x^2 + 8230178916x - 1 = 0\)
4. \(1,\;(-1 + \sqrt{5})/2,\;(-1 - \sqrt{5})/2\)
5. \(x = \tfrac{1}{3}\)

Решения задач

1. В 12:00 из пункта \(A\) вышел пешеход, а в 14:00 вслед за ним отправились два велосипедиста. Первый велосипедист догнал пешехода на 1~ч раньше, чем второй. Если бы второй велосипедист выехал из пункта \(A\) на 30~мин раньше, то догнал бы пешехода одновременно с первым. В какой момент первый велосипедист догнал пешехода?
   Решение: Пусть скорость пешехода \(v\), первого велосипедиста \(u_1\), второго \(u_2\). Первый догоняет пешехода через \(t\) часов после 14:00, второй — через \(t+1\) часов. Тогда: \[ \begin{cases} u_1 t = v(t + 2) \\ u_2 (t + 1) = v(t + 3) \\ u_1 (t - 0,5) = v(t + 1,5) \\ u_2 (t - 0,5) = v(t + 1,5) \end{cases} \] Из первого и третьего уравнений выразим \(u_1\): \[ u_1 = \frac{v(t + 2)}{t} = \frac{v(t + 1,5)}{t - 0,5} \] Решая уравнение \(\frac{t + 2}{t} = \frac{t + 1,5}{t - 0,5}\), получим \(t = 3\) часа. Следовательно, встреча произошла в \(14:00 + 3\) часа = \(17:00\).
   Ответ: 17:00.
   
   
2. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 2\) и \(AD = 5\) через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(AO\). В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
   Решение: Пусть высота трапеции \(h\). Площадь трапеции \(S = \frac{(2 + 5)}{2} \cdot h = \frac{7h}{2}\). Точка \(O\) — середина \(BD\). Проведем \(AO\), пересекающую \(CD\) в точке \(E\). Используя подобие треугольников \(AOD\) и \(EOC\), найдем отношение \(CE:ED = 3:5\). Площадь части трапеции ниже \(AO\) состоит из треугольника \(COE\) и трапеции \(BCEA\). После вычислений отношение площадей верхней и нижней частей равно \(7:13\).
   Ответ: \(7:13\).
   
   
3. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\tfrac{x_2}{x_1}\) и \(\tfrac{x_1}{x_2}\), где \(x_1, x_2\) — корни уравнения \[ x^2 + 2019x - 1 = 0. \]
   Решение: По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -2019\), \(x_1 x_2 = -1\). Сумма новых корней: \[ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2} = \frac{2019^2 + 2}{-1} = -(2019^2 + 2) \] Произведение новых корней: \[ \frac{x_2}{x_1} \cdot \frac{x_1}{x_2} = 1 \] Уравнение: \[ t^2 + (2019^2 + 2)t + 1 = 0 \] Ответ: \(t^2 + (2019^2 + 2)t + 1 = 0\).
   
   
4. Последовательность \(b_1,b_2,\dots\) — геометрическая прогрессия. При каком значении её знаменателя \(b_1, b_2, b_4\) — арифметическая прогрессия?
   Решение: Пусть знаменатель \(q\). Условие арифметической прогрессии: \[ 2b_2 = b_1 + b_4 \Rightarrow 2b_1 q = b_1 + b_1 q^3 \] Сократив на \(b_1 \neq 0\): \[ 2q = 1 + q^3 \Rightarrow q^3 - 2q + 1 = 0 \] Разложим на множители: \[ (q - 1)(q^2 + q - 1) = 0 \Rightarrow q = 1, \quad q = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Ответ: \(q = 1\), \(q = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\).
   
   
5. Решите уравнение \[ \sqrt[2019]{x} + 5x^3 + \sqrt[2019]{1-4x} + 5(1-4x)^3 = 0. \]
   Решение: Заметим, что функция \(f(t) = \sqrt[2019]{t} + 5t^3\) нечетная. Подставим \(1 - 4x = -x\): \[ 1 - 4x = -x \Rightarrow x = \frac{1}{3} \] Проверка: \[ \sqrt[2019]{\frac{1}{3}} + 5\left(\frac{1}{3}\right)^3 + \sqrt[2019]{\frac{1}{3}} + 5\left(\frac{1}{3}\right)^3 = 0 \] Ответ: \(x = \frac{1}{3}\).