СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2019 год вариант 10

1. В 12:00 из пункта \(A\) выехал велосипедист, а в 13:00 вслед за ним отправились два автомобиля. Первый автомобиль догнал велосипедиста на 30 мин раньше, чем второй. Если бы второй автомобиль выехал из пункта \(A\) на 15 мин раньше, то догнал бы велосипедиста одновременно с первым. В какой момент первый автомобиль догнал велосипедиста?
2. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 3\) и \(AD = 5\) через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(AO\). В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
3. Запишите квадратное уравнение с корнями \[ \frac{x_2}{x_1} \quad\text{и}\quad \frac{x_1}{x_2}, \] где \(x_1,x_2\) — корни уравнения \[ x^2 - 2019x - 1 = 0. \]
4. Последовательность \(b_1,b_2,\dots\) — геометрическая прогрессия. При каком значении её знаменателя члены \(b_1,b_2,b_4\) образуют арифметическую прогрессию?
5. Решите уравнение \[ \sqrt[2017]{x} + 3x^5+\sqrt[2017]{1 - 3x} + 3\bigl(1 - 3x\bigr)^5=0. \]

.

\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[russian]{babel} \begin{document} \begin{center} вариант 11-ФМ-10 (14 апреля) \end{center} \begin{enumerate} \item 13 ч.~30 мин. \item 31:25 \item $x^2 - 8230178916x - 1 = 0$ \item $1,\;\dfrac{1+\sqrt5}{2},\;\dfrac{1-\sqrt5}{2}$ \item $x = \dfrac12$ \end{enumerate} \end{document}

Решения задач

1. Пусть скорость велосипедиста $v$, скорости автомобилей $v_1$ и $v_2$. Первый автомобиль догнал велосипедиста через $t$ часов после своего старта (в 13:00), второй — через $t + 0.5$ часов. Составим уравнения: \[ \begin{cases} v(t + 1) = v_1 t \\ v(t + 1.5) = v_2(t + 0.5) \end{cases} \] При условии раннего старта второго автомобиля: \[ v(t + 1) = v_2(t - 0.25) \] Решая систему, получаем $t = 1.5$ часа. Первая встреча произошла в 13:00 + 1.5 ч = 14:30.
   Ответ: в 14:30.
   
   
2. Проведём среднюю линию трапеции $MN$ ($M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$). Точка $O$ — середина $BD$, значит $AO$ делит $MN$ пополам. Площадь трапеции $S = \frac{(3+5)}{2} \cdot h = 4h$. Прямая $AO$ делит трапецию на части с площадями $\frac{5}{4}S$ и $\frac{3}{4}S$.
   Ответ: $5:3$.
   
   
3. Используя теорему Виета для исходного уравнения: \[ x_1 + x_2 = 2019, \quad x_1x_2 = -1 \] Новые корни: $k_1 = \frac{x_2}{x_1}$, $k_2 = \frac{x_1}{x_2}$. Их сумма: \[ k_1 + k_2 = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{2019^2 + 2}{-1} = -2019^2 - 2 \] Произведение корней: $k_1k_2 = 1$. Уравнение: \[ y^2 + (2019^2 + 2)y + 1 = 0 \] Ответ: $y^2 + (2019^2 + 2)y + 1 = 0$.
   
   
4. Пусть $b_n = b_1q^{n-1}$. Условие арифметической прогрессии: \[ 2b_1q = b_1 + b_1q^3 \quad \Rightarrow \quad q^3 - 2q + 1 = 0 \] Решение уравнения: $(q-1)(q^2 + q - 1) = 0$. Корни: \[ q = 1, \quad q = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Ответ: $q = 1$, $q = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
   
   
5. Заметим, что выражение симметрично относительно замены $x \leftrightarrow \frac{1 - 3x}{1}$. Подстановка $x = \frac{1}{4}$ обращает оба радикала в $\sqrt[2017]{\frac{1}{4}}$, а слагаемые с $x^5$ дают $-3\left(\frac{1}{4}\right)^5 \cdot 2$. Сумма равна нулю.
   Ответ: $x = \frac{1}{4}$.