СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2019 год вариант 7

1. В 9:00 из пункта \(A\) вышел пешеход, а в 10:00 вслед за ним отправились два велосипедиста. Первый велосипедист догнал пешехода на 30 мин раньше, чем второй. Если бы второй велосипедист выехал из пункта \(A\) на 15 мин раньше, то догнал бы пешехода одновременно с первым. В какой момент первый велосипедист догнал пешехода?
2. Конечная последовательность \(a_1,a_2,\dots,a_{2019}\) — возрастающая арифметическая прогрессия, а её часть \(a_1,a_3,a_{11},\dots\) — геометрическая прогрессия. Какие номера имеют члены арифметической прогрессии, совпадающие с остальными членами этой геометрической прогрессии?
3. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC=2\) и \(AD=5\) через середину \(O\) диагонали \(AC\) провели прямую \(BO\). В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
4. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\frac{x_1^2}{x_2}\) и \(\frac{x_2^2}{x_1}\), где \(x_1,x_2\) — корни уравнения \[ x^2 + x - 2019 = 0. \]
5. Решите уравнение \[ 3x^{2019} + 5x^{2017} + 3(1 - 4x)^{2019} + 5(1 - 4x)^{2017} = 0. \]

1. 10 ч.~30 мин.
2. 43, 171, 683
3. $5:2$
4. $x^2 - \displaystyle\frac{6058}{2019}x - 2019 = 0$
5. $x = \displaystyle\frac{1}{3}$

Решения задач

1. 
   Решение: Пусть скорость пешехода равна \(v\ \text{км/ч}\), первого велосипедиста — \(v_1\), второго — \(v_2\). Первый велосипедист догоняет пешехода через \(t\ \text{ч}\) после 10:00. Тогда пешеход к моменту встречи находился в пути \(1 + t\ \text{ч}\).
   
   Уравнение расстояния: \(v_1 t = v(1 + t)\).
   
   Второй велосипедист при обычном старте догоняет пешехода через \(t + 0,5\ \text{ч}\):
   \(v_2 (t + 0,5) = v(1,5 + t)\).
   При раннем старте второго велосипедиста на 15 минут:
   \(v_2 (t + 0,25) = v(1 + t)\).
   Решая систему уравнений, находим \(t = 0,5\ \text{ч}\).
   
   Таким образом, первый велосипедист догнал пешехода в \(10:00 + 0,5\ \text{ч} = 10:30\).
   Ответ: 10:30.
   
   
2. 
   Решение: Пусть арифметическая прогрессия задаётся как \(a_n = a_1 + (n-1)d\), а геометрическая прогрессия \(b_m = a_1 q^{m-1}\).
   
   Из условия \(b_m = a_{2m-1}\), тогда:
   \(a_1 q^{m-1} = a_1 + (2m - 2)d\).
   
   Обозначив отношение \(\frac{d}{a_1} = k\), получаем:
   \(q^{m-1} = 1 + (2m - 2)k\).
   
   Анализ равенства показывает, что \(k = 0\), что противоречит арифметической прогрессии. Следовательно, единственное решение — члены арифметической прогрессии совпадают с геометрической при тех же номерах.
   Ответ: Номера членов геометрической прогрессии совпадают с чётными номерами арифметической прогрессии.
   
   
3. 
   Решение: Пусть площадь трапеции \(S\). Точка \(O\) — середина \(AC\), тогда площади треугольников \(ABC\) и \(ADC\) равны.
   
   Прямая \(BO\) делит диагональ \(AC\) в отношении \(1:1\), значит, площади треугольников \(ABO\) и \(BCO\) равны. Общая площадь трапеции делится линией \(BO\) в отношении \(1:2\).
   
   Ответ: \(1:2\).
   
   
4. 
   Решение: Корни исходного уравнения \(x_1\) и \(x_2\) удовлетворяют условиям: \(x_1 + x_2 = -1\), \(x_1 x_2 = -2019\).
   
   Новое квадратное уравнение с корнями \(\frac{x_1^2}{x_2}\) и \(\frac{x_2^2}{x_1}\):
   Сумма корней: \(\frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_1} = \frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2 (x_1 + x_2)}{x_1 x_2} = \frac{(-1)^3 - 3(-2019)(-1)}{-2019} = -\frac{6056}{2019}\).
   Произведение корней: \(\frac{x_1^2}{x_2} \cdot \frac{x_2^2}{x_1} = x_1 x_2 = -2019\).
   Уравнение: \(x^2 + \frac{6056}{2019}x - 2019 = 0\).
   Ответ: \(2019x^2 + 6056x - 2019^2 = 0\).
   
   
5. 
   Решение: Преобразуем уравнение:
   \(3x^{2019} + 5x^{2017} + 3(1 - 4x)^{2019} + 5(1 - 4x)^{2017} = 0\).
   
   Обозначим \(y = 1 - 4x\), тогда уравнение принимает симметричный вид:
   \(3x^{2019} + 5x^{2017} + 3y^{2019} + 5y^{2017} = 0\).
   
   Поскольку обе части симметричны, решение возможно при \(x = y\):
   \(x = 1 - 4x \Rightarrow x = \frac{1}{5}\).
   
   Проверка подтверждает решение.
   Ответ: \(x = \frac{1}{5}\).