Школу №2086 из 7 в 8 класс 2024 год

Школа № 2086

2024 год

23.06.2024

Вариант 2023.2

Продолжительность работы — 105 минут

1. Упростите выражение: \[ \frac{3b - 2a - ab + 7a}{b^2 - 14b + 49} \] и найдите его значение при \( a = 1003, \ b = -18 \).
   
   
2. Функция задана формулой: \[ y = \frac{1}{6}x - 5 \] Какая точка графика этой функции имеет абсциссу, равную ординате?
   
   
3. Найдите значение выражения: \[ \frac{(4.37 - 3.12) \cdot 0.8}{0.2 \cdot (47.8 - 45.55) \cdot 0.225} - \frac{(1.238 + 2.762) \cdot 0.1}{(36.987 - 34.487) \cdot 3.125} \]
   
   
4. Одна из сторон равнобедренного треугольника на 9 см короче другой, а его периметр равен 57 см. Найдите стороны треугольника.
   
   
5. В равностороннем треугольнике \( ABC \) найдите угол между биссектрисами углов \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \).
   
   
6. Женя и Петя отправились одновременно из города A в город B, один на автомобиле, другой — на велосипеде. По прошествии некоторого времени оказалось, что если бы Женя проехал вдвое больше, то ему осталось бы проехать вдвое меньше, чем сейчас, и что если бы Петя проехал втрое меньше, то ему осталось бы проехать вдвое больше, чем сейчас. Как зовут велосипедиста, если он ехал с меньшей скоростью, чем автомобилист?
   
   
7. Сколькими способами можно разместить в одном ряду двух мальчиков и четырёх девочек так, чтобы девочки сидели рядом?

Ответы:

1. 36,824
2. (-6, 6)
3. 9,825
4. 22 см, 22 см, 13 см или 16 см, 16 см, 25 см
5. \(120^\circ\)
6. Женя
7. 144

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \frac{3b - 2a - ab + 7a}{b^2 - 14b + 49} \] и найдите его значение при \( a = 1003, \ b = -18 \).
   Решение: В числителе группируем подобные слагаемые: \[ 3b - ab + 5a = 5a + 3b - ab = a(5 - b) + 3b \] Знаменатель – формула квадрата разности: \[ b^2 - 14b + 49 = (b - 7)^2 \] Подставляем значения \( a = 1003, \ b = -18 \): \[ \frac{1003 \cdot (5 - (-18)) + 3 \cdot (-18)}{(-18 - 7)^2} = \frac{1003 \cdot 23 - 54}{625} = \frac{23015}{625} = 36,824 \] Ответ: 36,824.
   
   
2. Функция задана формулой: \[ y = \frac{1}{6}x - 5 \] Какая точка графика этой функции имеет абсциссу, равную ординате?
   Решение: Подставляем \( y = x \) в уравнение: \[ x = \frac{1}{6}x - 5 \quad \Big| \cdot 6 \] \[ 6x = x - 30 \quad \Rightarrow \quad 5x = -30 \quad \Rightarrow \quad x = -6 \] Координаты точки: \((-6, -6)\).
   Ответ: \((-6, -6)\).
   
   
3. Найдите значение выражения: \[ \frac{(4.37 - 3.12) \cdot 0.8}{0.2 \cdot (47.8 - 45.55) \cdot 0.225} - \frac{(1.238 + 2.762) \cdot 0.1}{(36.987 - 34.487) \cdot 3.125} \]
   Решение: Вычисляем отдельно части выражения: \[ \frac{1.25 \cdot 0.8}{0.2 \cdot 2.25 \cdot 0.225} = \frac{1}{0.10125} = 9,87654 \] \[ \frac{4 \cdot 0.1}{2.5 \cdot 3.125} = \frac{0.4}{7.8125} = 0,0512 \] Итог: \[ 9,87654 - 0,0512 = 9,82534 \approx 9,825 \] Ответ: 9,825.
   
   
4. Одна из сторон равнобедренного треугольника на 9 см короче другой, а его периметр равен 57 см. Найдите стороны треугольника.
   Решение: Возможны 2 варианта:
   1. Основание короче боковых на 9 см: \[ 2a + (a - 9) = 57 \quad \Rightarrow \quad a = 22 \quad (22, 22, 13) \]
   2. Боковые короче основания на 9 см: \[ 2a + (a + 9) = 57 \quad \Rightarrow \quad a = 16 \quad (16, 16, 25) \]
   Оба варианта удовлетворяют неравенству треугольника.
   Ответ: 22 см, 22 см, 13 см или 16 см, 16 см, 25 см.
   
   
5. В равностороннем треугольнике \( ABC \) найдите угол между биссектрисами углов \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \).
   Решение: В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\). Биссектрисы делят их пополам (\(30^\circ\)). Используем координаты и скалярное произведение: \[ \cos{\theta} = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{CE}}{|\vec{AD}| \cdot |\vec{CE}|} = -\frac{3/2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \theta = 120^\circ \] Ответ: \(120^\circ\).
   
   
6. Определяем велосипедиста:
   Решение: Составляем уравнения для пройденных расстояний: Для Жени (\(v_1\)): \[ S = 3v_1t \] Для Пети (\(v_2\)): \[ S = \frac{5}{3}v_2t \] Из условий получаем \( v_2 = \frac{9}{5}v_1 \), где \(v_2 > v_1\). Значит, Женя едет медленнее.
   Ответ: Женя.
   
   
7. Размещение детей:
   Решение: Объединяем 4 девочек в блок (4! способов). Блок и 2 мальчика образуют 3 элемента, которые можно переставить \(3\) способами (позиции блока). Мальчики переставляются 2! способами: \[ 3 \cdot 4! \cdot 2! = 3 \cdot 24 \cdot 2 = 144 \] Ответ: 144.