Школу №2086 из 4 в 5 класс 2025 год

Письменный экзамен по математике в 5 класс на базе ГБОУ СОШ 2086. 23 августа 2025 г
Внимательно прочитайте условие. Решите задачу на черновике. Затем перепишите на чистовик РЕШЕНИЕ и ответ. Ответ в задачах, даже правильный, без решения засчитываться не будет. Черновик проверяться не будет.

1. (2 балла) Вычислите: $1976 \times 42 - 26 \times (46\,463 - 45\,386) + 936\,612 : 36$
2. (2 балла) Решите уравнение: $5000 - (3612 : x + 47) : 18 = 4995$
3. (3 балла) Сумма в 15 раз больше второго слагаемого, а первое слагаемое на 117 больше второго слагаемого. Восстановите пример (найдите слагаемые и сумму).
4. (4 балла) Изобразите на этом числовом луче числа $18$, $4$ и $42$. Определите, какое число соответствует отмеченной чёрной точке. Укажите на этом луче точку $А$, если известно, что точка $А$ в три раза ближе к началу отсчета, чем к точке с координатой $40$.
5. (4 балла) В магазин привезли 3600 кг овощей. Третья часть составили картофель, пятая часть — морковь, остальное — капуста. Через два дня продали 420 кг картофеля, 200 кг моркови и $ \dfrac{3}{5} $ всей капусты. Остальные овощи оказались разложены в 50 одинаковых ящиках. Сколько килограммов овощей?
6. (5 баллов) Никита решил купить всем девочкам, которые встретились ему в школе, по цветку. В цветочном магазине ему предложили розы по 9 рублей и тюльпаны по 7 рублей. Никита подсчитал, что на покупку роз ему не хватает 17 рублей, а если он купит всем девочкам по тюльпану, то у него останется еще 11 рублей. Сколько девочек встретил Никита и сколько у него было денег?
7. (5 баллов) Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и мотоциклист. Через час мотоциклист был точно посредине между пунктом A и автомобилем, а еще через час они оказались на одинаковом расстоянии от пункта A. Во сколько раз мотоциклист был медленнее автомобиля?
8. (5 баллов) Периметр квадратного бассейна равен 240 м. Сколько метров верёвки понадобится, чтобы разделить бассейн на четыре прямоугольные зоны, площади которых равны (см. рисунок справа)?
9. (6 баллов) В мешке лежат 100 шариков красного, синего и жёлтого цветов. Некоторые шарики раскрашены в два цвета, но ни один из них не раскрашен всеми тремя. 43 шарика — не синие, 68 шариков — не жёлтые, 30 шариков — не красные. Сколько шариков раскрашены в два цвета?
10. (7 баллов) Катя, Вика, Сева и Миша — ученики 4, 5, 6 и 7 классов. На вопрос, кто в каком классе, ребята сказали так:
    • Катя: «Вика старше Миши»
    • Вика: «Миша старше Севы»
    • Сева: «Катя младше Миши»
    • Миша: «Вика младше Кати»
    Позже выяснилось, что если кто-то высказался про школьника старше его самого, то он соврал. Все остальные утверждения были правильными. Определите, кто в каком классе учится.

Максимальное количество баллов = 42

Решения задач

1. Вычислите: $1976 \times 42 - 26 \times (46\,463 - 45\,386) + 936\,612 : 36$
   Решение:
   $46\,463 - 45\,386 = 1\,077$
   $26 \times 1\,077 = 26 \times (1\,000 + 77) = 26\,000 + 2\,002 = 28\,002$
   $1976 \times 42 = (2\,000 - 24) \times 42 = 84\,000 - 1\,008 = 82\,992$
   $936\,612 : 36 = 26\,017$
   $82\,992 - 28\,002 = 54\,990$
   $54\,990 + 26\,017 = 81\,007$
   Ответ: $81\,007$.
2. Решите уравнение: $5000 - (3612 : x + 47) : 18 = 4995$
   Решение:
   $5000 - 4995 = (3612 : x + 47) : 18$
   $5 = (3612 : x + 47) : 18$
   $5 \times 18 = 3612 : x + 47$
   $90 = 3612 : x + 47$
   $3612 : x = 43$
   $x = 3612 : 43 = 84$
   Ответ: 84.
3. Сумма в 15 раз больше второго слагаемого, а первое слагаемое на 117 больше второго слагаемого. Восстановите пример.
   Решение:
   Пусть второе слагаемое — $y$, тогда сумма — $15y$, первое слагаемое — $y + 117$.
   $(y + 117) + y = 15y$
   $2y + 117 = 15y$
   $13y = 117 \quad \Rightarrow \quad y = 9$
   Первое слагаемое: $9 + 117 = 126$, сумма: $15 \times 9 = 135$
   Ответ: $126 + 9 = 135$.
4. Изобразите на числовом луче числа $18$, $4$ и $42$. Определите число чёрной точки. Укажите точку $А$, если она в три раза ближе к началу, чем к точке $40$.
   Решение:
   Расстояние от начала до точки $40$: $40$ единиц.
   Пусть расстояние от начала до $А$ — $x$, тогда от $А$ до $40$ — $3x$.
   $x + 3x = 40 \quad \Rightarrow \quad x = 10$
   Координата точки $А$: $10$.
   Ответ: точка $А$ на координате $10$.
5. 
   Решение.
   Сначала найдём исходные массы:
   \[ \text{картофель}=\frac{1}{3}\cdot 3600=1200\ \text{кг},\quad \text{морковь}=\frac{1}{5}\cdot 3600=720\ \text{кг},\quad \text{капуста}=3600-1200-720=1680\ \text{кг}. \]
   После продаж:
   \[ \text{картофель: }1200-420=780\ \text{кг},\qquad \text{морковь: }720-200=520\ \text{кг}, \]
   \[ \text{капуста: }1680-\frac{3}{5}\cdot 1680 =1680-1008=672\ \text{кг}. \]
   Всего осталось:
   \[ 780+520+672=1972\ \text{кг}. \]
   Это разложили в $50$ одинаковых ящиков, значит в одном ящике
   \[ \frac{1972}{50}=39{,}44\ \text{кг}. \]
   Ответ: в одном ящике \(\boxed{39{,}44\ \text{кг}}\).
6. Пусть девочек — $n$, денег — $m$.
   Для роз: $9n = m + 17$
   Для тюльпанов: $7n = m - 11$
   Вычитаем уравнения: $9n - 7n = 17 + 11 \quad \Rightarrow \quad 2n = 28 \quad \Rightarrow \quad n = 14$
   $m = 9 \times 14 - 17 = 109$ руб.
   Ответ: 14 девочек, 109 рублей.
7. Решение.
   Обозначим скорости мотоциклиста и автомобиля через $m$ и $a$ (км/ч), а расстояние между $A$ и $B$ — через $D$.
   Через $1$ час мотоциклист находится на расстоянии $m$ от $A$, а автомобиль — на расстоянии $D-a$ от $A$.
   По условию мотоциклист ровно посередине между $A$ и автомобилем, значит
   \[ m=\frac{D-a}{2}. \]
   Ещё через $1$ час (то есть через $2$ часа от старта) расстояния до $A$ у них одинаковые.
   Так как автомобиль быстрее, к этому моменту он уже проехал точку $A$, поэтому его расстояние до $A$ равно $2a-D$.
   Следовательно,
   \[ 2m=2a-D. \]
   Из (1) получаем $D=2m+a$. Подставим в (2):
   \[ 2m=2a-(2m+a)\;\Longrightarrow\;2m=2a-2m-a\;\Longrightarrow\;4m=a. \]
   То есть $a=4m$, значит автомобиль в $4$ раза быстрее мотоциклиста.
   Ответ: мотоциклист медленнее автомобиля \(\boxed{в~4~раза}\).
8. Периметр бассейна 240 м → сторона 60 м. Для разделения на 4 равные зоны потребуется верёвка длиной $60 \times 3 = 180$ м.
   Ответ: 180 м.
9. Не синих: 43 → синих: 57. Не жёлтых: 68 → жёлтых: 32. Не красных: 30 → красных: 70.
   Всего шариков: $57 + 32 + 70 - x = 100 \quad \Rightarrow \quad x = 59$
   Ответ: 59 шариков.
10. Анализ утверждений:
    Катя (4), Вика (5), Сева (6), Миша (7).
    Утверждения:
    • Катя: «Вика старше Миши» → ложь (Вика 5, Миша 7).
    • Вика: «Миша старше Севы» → правда (Миша 7, Сева 6).
    • Сева: «Катя младше Миши» → ложь (Катя 4, Миша 7; Сева старше Кати).
    • Миша: «Вика младше Кати» → ложь (Вика 5, Катя 4).
    Ответ: Катя — 4, Вика — 5, Сева — 6, Миша — 7.