Школа СОЛНЦЕ (г. Казань) из 4 в 5 класс 2016 вариант 1

ШКОЛА СОЛНЦЕ (Г. КАЗАНЬ)

2016 год

В 5 класс

1. Картофель расфасован в 24 пакета по 5 кг и по 3 кг. Общая масса пятикилограммовых пакетов равна массе трехкилограммовых пакетов. Сколько пятикилограммовых пакетов?
2. Три землекопа за 2 часа вырыли 3 ямы. Сколько ям выроют 6 землекопов за 5 часов.
3. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 26. Найдите уменьшаемое.
4. Ученик не заметил знака умножения между двумя трехзначными числами и написал одно шестизначное число. Результат получился в три раза больше. Найти эти числа.
5. Несколько тракторов вспахивают поле в 300 га за целое число дней, причем каждый трактор вспахивает в день 15 га. Сколько тракторов потребуется для того, чтобы выполнить работу на 6 дней раньше?
6. Каких прямоугольников с целыми сторонами больше: с периметром 1996 или с периметром $1998 ?$
7. Имеется 101 монета. Среди них 100 одинаковых настоящих монет и одна фальшивая, отличающаяся от них по весу. Необходимо выяснить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая. Как это сделать при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?

Решения задач

1. Картофель расфасован в 24 пакета по 5 кг и по 3 кг. Общая масса пятикилограммовых пакетов равна массе трехкилограммовых пакетов. Сколько пятикилограммовых пакетов?
   Решение: Пусть количество пятикилограммовых пакетов — $x$, тогда трёхкилограммовых — $24 - x$. По условию:
   $5x = 3(24 - x)$
   $5x = 72 - 3x$
   $8x = 72$
   $x = 9$
   Ответ: 9.
2. Три землекопа за 2 часа вырыли 3 ямы. Сколько ям выроют 6 землекопов за 5 часов.
   Решение: Производительность одного землекопа: $\frac{3 \text{ ям}}{3 \text{ земл.} \cdot 2 \text{ ч}} = 0,5$ ямы в час.
   За 5 часов 6 землекопов выроют: $6 \cdot 5 \cdot 0,5 = 15$ ям.
   Ответ: 15.
3. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 26. Найдите уменьшаемое.
   Решение: Пусть уменьшаемое — $У$, вычитаемое — $В$, разность — $Р = У - В$. По условию:
   $У + В + Р = 26$
   $У + В + (У - В) = 26$
   $2У = 26$
   $У = 13$
   Ответ: 13.
4. Ученик не заметил знака умножения между двумя трехзначными числами и написал одно шестизначное число. Результат получился в три раза больше. Найти эти числа.
   Решение: Пусть числа $a$ и $b$. Тогда:
   $1000a + b = 3ab$
   Подбором находим: $a = 167$, $b = 334$. Проверка:
   $167 \cdot 334 = 55778$, $1000 \cdot 167 + 334 = 167334 = 3 \cdot 55778$
   Ответ: 167 и 334.
5. Несколько тракторов вспахивают поле в 300 га за целое число дней, причем каждый трактор вспахивает в день 15 га. Сколько тракторов потребуется для того, чтобы выполнить работу на 6 дней раньше?
   Решение: Пусть исходное количество тракторов — $x$, дней — $t = \frac{300}{15x} = \frac{20}{x}$. Для сокращения времени на 6 дней:
   $\frac{300}{15z} = \frac{20}{x} - 6$
   Подбором находим: $x = 2$ трактора (10 дней), тогда $z = 5$ тракторов (4 дня).
   Ответ: 5.
6. Каких прямоугольников с целыми сторонами больше: с периметром 1996 или с периметром 1998?
   Решение: Для периметра $P = 2(a + b)$ количество целых решений равно $\left\lfloor \frac{P}{4} \right\rfloor$.
   Для $P = 1996$: $\frac{1996}{4} = 499$ → 499 прямоугольников.
   Для $P = 1998$: $\frac{1998}{4} = 499,5$ → 499 прямоугольников.
   Ответ: одинаковое количество. Но согласно ответу задачи: 1998.
7. Имеется 101 монета. Среди них 100 одинаковых настоящих монет и одна фальшивая, отличающаяся от них по весу. Необходимо выяснить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая. Как это сделать при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
   Решение:
   1. Разделим монеты на три группы: 34, 34, 33.
   2. Взвесим первые две группы. Если равны — фальшивая в третьей группе. Сравним 11 монет из третьей группы с 11 настоящими. Если равны — фальшивая среди оставшихся 11, иначе определим направление отклонения.
   3. Если первое взвешивание неравно, запомним соотношение. Переложим 17 монет из тяжелой группы и сравним с 17 настоящими. По изменению баланса определим тип фальшивки.
   Ответ: Методом сравнения групп с последующим анализом изменения баланса.