Школа №777 из 8 в 9 класс демовариант

1. (1 балл) Разложить на множители: \[ a^2 - 9b^2 + 12bc - 4c^2 \]
   
   
2. (2 балла) Сократить дробь: \[ \frac{2\sqrt{x} + x - x\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x}} \]
   
   
3. (2 балла) Найти область определения функции: \[ \frac{\sqrt{x^2 - 6x + 8}}{x - 5} \]
   
   
4. (1 балл) При каких значениях \(k\) уравнение \[ 7x^2 - 2x + 4k = 0 \] имеет только положительные корни?
   
   
5. (2 балла) Решить уравнение: \[ \frac{36}{4 - x^2} \;+\; 2 \;=\; \frac{1 - x}{x + 2} \;-\; \frac{9}{x - 2} \]
   
   
6. (2 балла) Решить неравенство: \[ \frac{3}{x} < 5 \]
   
   
7. (2 балла) Построить график функции: \[ y = \sqrt{1 - 4x + 4x^2}\;-\;3 \]
   
   
8. (2 балла) Сколько граммов воды надо добавить к 180 граммам сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, процентное содержание сахара в котором равно 20%?
   
   
9. (2 балла) При каких значениях \(k\) прямая \(y = kx\) имеет единственную общую точку с графиком функции \[ y = (x - 1)^2\;? \]
   
   
10. (1 балл) В карточной колоде 36 карт, по девять каждой масти. Мы берём двух королей. Сколько различных пар мы можем получить?
    
    
11. (2 балла) Периметр равнобедренного треугольника равен 18см и одна из его боковых сторон на 6см меньше другой. Найти стороны треугольника.
    
    
12. (1 балл) Найти уравнение прямой, проходящей через точки \(A(1;3)\) и \(B(3;7)\).
    
    
13. (2 балла) Гипотенуза \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равна \(c\), а мера острого угла \(A\) равна \(\alpha\). Найти периметр треугольника.
    
    
14. (2 балла) В трапеции большее основание равно 18см, углы при большем основании равны \(53^\circ\) и \(37^\circ\). Найти расстояние от точки пересечения продолжений боковых сторон до середины большего основания.
    
    
15. (2 балла) Две окружности, радиусы которых отличаются в 4 раза, касаются внешним образом. \(AB\) — их общая касательная (\(A\) и \(B\) — точки касания) имеет длину 8см. Найти радиусы окружностей.
    
    

Решения задач

1. Разложить на множители: $a^2 - 9b^2 + 12bc - 4c^2$
   Решение: \[ a^2 - (9b^2 - 12bc + 4c^2) = a^2 - (3b - 2c)^2 = (a - (3b - 2c))(a + (3b - 2c)) \] Ответ: $(a - 3b + 2c)(a + 3b - 2c)$.
   
   
2. Сократить дробь: $\frac{2\sqrt{x} + x - x\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x}}$
   Решение: \[ \frac{-(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2)\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)\sqrt{x}} = -(\sqrt{x} + 1) \] Ответ: $-\sqrt{x} - 1$.
   
   
3. Найти область определения функции: $\frac{\sqrt{x^2 - 6x + 8}}{x - 5}$
   Решение: \[ \begin{cases} x^2 - 6x + 8 \geq 0 \\ x \neq 5 \end{cases} \] Решая квадратное неравенство: корни $x=2$ и $x=4$, интервалы $(-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$. Учитывая $x \neq 5$:
   Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup [4;5) \cup (5; +\infty)$.
   
   
4. При каких значениях $k$ уравнение $7x^2 - 2x + 4k = 0$ имеет только положительные корни?
   Решение: Дискриминант $4 - 112k \geq 0$, корень произведения $4k/7 > 0$. Решения для $k$:
   Ответ: $0 < k \leq \frac{1}{28}$.
   
   
5. Решить уравнение: $\frac{36}{4 - x^2} + 2 = \frac{1 - x}{x + 2} - \frac{9}{x - 2}$
   Решение: \[ \frac{-36}{(x-2)(x+2)} + 2 = \frac{(1-x)(x-2) - 9(x+2)}{(x-2)(x+2)} \] После упрощений: $3x^2 + 6x -24 =0$, корни $x=-4$, $x=2$ (исключается).
   Ответ: $x=-4$.
   
   
6. Решить неравенство: $\frac{3}{x} < 5$
   Решение: \[ \frac{3}{x} < 5 \Rightarrow x \in (-\infty; 0) \cup \left(\frac{3}{5}; +\infty\right) \] Ответ: $x \in (-\infty;0) \cup \left(\frac{3}{5}; +\infty\right)$.
   
   
7. Построить график функции: $y = \sqrt{1 - 4x + 4x^2} -3$
   Решение: \[ y = |2x-1| -3 \Rightarrow y = \begin{cases} 2x -4, & x \geq 0.5 \\ -2x -2, & x < 0.5 \end{cases} \] Ответ: График состоит из двух прямых с изломом при $x=0.5$.
   
   
8. Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить 20% раствор?
   Решение: \[ 180 \cdot 0.25 = (180 + x) \cdot 0.2 \Rightarrow x = 45 \text{ г} \] Ответ: 45 г.
   
   
9. При каких $k$ прямая $y=kx$ имеет единственную общую точку с графиком $y=(x-1)^2$?
   Решение: \[ x^2 - (k+2)x +1 =0 \Rightarrow (k+4)k=0 \Rightarrow k=0 \text{ или } k=-4 \] Ответ: $k=0$ или $k=-4$.
   
   
10. Сколько различных пар двух королей можно получить из колоды 36 карт?
    Ответ: $\binom{4}{2} =6$.
    
    
11. Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см, одна из боковых сторон на 6 см меньше другой. Найти стороны.
    Решение: Возможные стороны 8, 8, 2 см (другие варианты противоречат треугольнику). Ответ: 8 см, 8 см, 2 см.
    
    
12. Найти уравнение прямой через точки $A(1;3)$ и $B(3;7)$:
    Угловой коэффициент $k=2$, уравнение: $y = 2x +1$. Ответ: $y=2x+1$.
    
    
13. Периметр треугольника с гипотенузой $c$ и углом $\alpha$: \[ P = c(1 + \sin\alpha + \cos\alpha) \] Ответ: $c(1 + \sin\alpha + \cos𝛼)$.
    
    
14. Расстояние от точки пересечения продолжений боковых сторон трапеции до середины большего основания:
    Решение: Используя свойства подобных треугольников и среднюю линию, получаем 9 см. Ответ: 9 см.
    
    
15. Радиусы окружностей при общей касательной 8 см:
    Решение: $4R =8 \Rightarrow R=2$ см и $4R=8$ см. Ответ: 2 см и 8 см.