Школа №777 из 8 в 9 класс 2021 год вариант 3

1. (1 балл) Разложить на множители: \[ c^2 - 9a^2 + 12ab - 4b^2 \]
   
   
2. (2 балла) Сократить дробь: \[ \frac{-3\sqrt{x} + 2x + x\sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}. \]
   
   
3. (2 балла) Найти область определения функции: \[ y = \frac{x - 7}{\sqrt{x^2 - 7x + 12}}. \]
   
   
4. (1 балл) При каких значениях \(k\) уравнение \[ x^2 + 2x + 9k = 0 \] имеет только отрицательные корни?
   
   
5. (2 балла) Решить уравнение: \[ \frac{13}{2x^2 + x - 21} + \frac{1}{2x + 7} - \frac{6}{x^2 - 9} = 0. \]
   
   
6. (2 балла) Решить неравенство: \[ \frac{7}{x} \le 5. \]
   
   
7. (2 балла) Построить график функции: \[ y = 3 - \sqrt{4x^2 + 4x + 1}. \]
   
   
8. (2 балла) Сколько граммов воды надо добавить к 220 г сиропа, содержащего 33% сахара, чтобы получить сироп с 15% содержанием сахара?
   
   
9. (2 балла) При каких значениях \(k\) прямая \(y = kx\) имеет единственную общую точку с графиком функции \[ y = (x - 3)^2? \]
   
   
10. (1 балл) Рассматриваются ненулевые целые числа, модуль которых меньше 11. Сколько среди них чисел из промежутка \((-10; -1)\)?
    
    
11. (2 балла) Периметр равнобедренного треугольника равен 27 см, и одна боковая сторона на 6 см больше другой. Найдите стороны треугольника.
    
    
12. (1 балл) Найти уравнение прямой, проходящей через точки \(A(2; -5)\) и \(B(-4; 9)\).
    
    
13. (2 балла) Катет \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равен \(a\), а мера острого угла \(A\) равна \(\alpha\). Найдите площадь треугольника.
    
    
14. (2 балла) В трапеции большее основание равно 22 см, углы при большем основании равны \(58^\circ\) и \(32^\circ\). Найти расстояние от точки пересечения продолжений боковых сторон до середины средней линии трапеции.
    
    
15. (2 балла) Две окружности, радиусы которых отличаются в 5 раз, касаются внешним образом. \(AB\) — их общая касательная (\(A\) и \(B\) — точки касания) длиной 18 см. Найти радиусы окружностей.
    
    

Решения задач

1. Разложить на множители: \[ c^2 - 9a^2 + 12ab - 4b^2 \] Решение: Сгруппируем слагаемые: \[ c^2 - (9a^2 - 12ab + 4b^2) = c^2 - (3a - 2b)^2 = (c - (3a - 2b))(c + (3a - 2b)) \] Ответ: $(c - 3a + 2b)(c + 3a - 2b)$.
   
   
2. Сократить дробь: \[ \frac{-3\sqrt{x} + 2x + x\sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} \] Решение:
   Пусть $t = \sqrt{x}$, тогда $x = t^2$. Преобразуем числитель и знаменатель: \[ \frac{-3t + 2t^2 + t^3}{t^2 - t} = \frac{t(t^2 + 2t - 3)}{t(t - 1)} = \frac{(t + 3)(t - 1)}{(t - 1)} = t + 3 \] Возвращаемся к исходной переменной: $t = \sqrt{x}$.
   Ответ: $\sqrt{x} + 3$.
   
   
3. Найти область определения функции: \[ y = \frac{x - 7}{\sqrt{x^2 - 7x + 12}}. \] Решение: Знаменатель должен быть положительным: \[ x^2 - 7x + 12 > 0 \implies (x - 3)(x - 4) > 0 \] Нули выражения: $x = 3$ и $x = 4$. Метод интервалов: \[ x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty) \] Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$.
   
   
4. При каких значениях \(k\) уравнение \[ x^2 + 2x + 9k = 0 \] имеет только отрицательные корни?
   Решение:
   • Корни действительны: $D = 4 - 36k \geq 0 \implies k \leq \frac{1}{9}$
   • Корни отрицательны: сумма корней $-2 0 \implies k > 0$
   Ответ: $k \in (0; \frac{1}{9}]$.
   
   
5. Решить уравнение: \[ \frac{13}{2x^2 + x - 21} + \frac{1}{2x + 7} - \frac{6}{x^2 - 9} = 0. \] Решение:
   1. Разложим знаменатели:
      $2x^2 + x - 21 = (x - 3)(2x + 7)$, $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
   2. Общий знаменатель: $(x - 3)(2x + 7)(x + 3)$
   3. Умножаем уравнение на ОЗ: \[ 13(x + 3) + (x - 3)(x + 3) - 6(2x + 7) = 0 \implies x^2 + x - 12 = 0 \] Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.
   4. Проверка: $x = 3$ обращает знаменатели в ноль.
   Ответ: $x = -4$.
   
   
6. Решить неравенство: \[ \frac{7}{x} \le 5. \] Решение: \[ \frac{7}{x} - 5 \leq 0 \implies \frac{7 - 5x}{x} \leq 0 \] Метод интервалов. Нули числителя: $x = \frac{7}{5}$, знаменателя: $x = 0$.
   Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [\frac{7}{5}; +\infty)$.
   
   
7. Построить график функции: \[ y = 3 - \sqrt{4x^2 + 4x + 1}. \] Решение: \[ \sqrt{4x^2 + 4x + 1} = |2x + 1| \implies y = 3 - |2x + 1| \] График — ломаная с вершиной в точке $(-\frac{1}{2}; 3)$.
   
   
8. Сколько граммов воды надо добавить к 220 г сиропа, содержащего 33% сахара, чтобы получить сироп с 15% содержанием сахара?
   Решение:
   • Масса сахара: $220 \times 0,33 = 72,6$ г
   • Новая масса раствора: $\frac{72,6}{0,15} = 484$ г
   • Добавленная вода: $484 - 220 = 264$ г
   Ответ: 264 г.
   
   
9. При каких значениях \(k\) прямая \(y = kx\) имеет единственную общую точку с графиком функции \[ y = (x - 3)^2? \] Решение: \[ kx = (x - 3)^2 \implies x^2 - (6 + k)x + 9 = 0 \] Дискриминант равен нулю: \[ (6 + k)^2 - 36 = 0 \implies k = 0; k = -12 \] Ответ: $k = 0$ или $k = -12$.
   
   
10. Сколько среди ненулевых целых чисел, модуль которых меньше 11, чисел из промежутка \((-10; -1)\)?
    Решение: Числа: $-9; -8; -7; -6; -5; -4; -3; -2$. Всего 8 чисел.
    Ответ: 8.
    
    
11. Периметр равнобедренного треугольника равен 27 см. Найти стороны треугольника.
    Решение:
    • Пусть основание равно $x$, боковые стороны $x + 6$: \[ x + 2(x + 6) = 27 \implies 3x + 12 = 27 \implies x = 5 \text{ см} \] Ответ: 5 см, 11 см, 11 см.
    
    
    
12. Найти уравнение прямой, проходящей через точки \(A(2; -5)\) и \(B(-4; 9)\).
    Решение: \[ \frac{y + 5}{9 + 5} = \frac{x - 2}{-4 - 2} \implies y = -\frac{7}{3}x - \frac{1}{3} \] Ответ: $y = -\frac{7}{3}x - \frac{1}{3}$.
    
    
13. Площадь треугольника с катетом \(AB = a\) и углом \(\alpha\): \[ S = \frac{1}{2}a^2 \tan\alpha \] Ответ: $\frac{1}{2}a^2 \tan\alpha$.
    
    
14. Расстояние от точки пересечения продолжений боковых сторон до середины средней линии трапеции:
    Решение:
    • Средняя линия: $\frac{22 + x}{2}$
    • Высота трапеции: $h = \frac{x}{2}(\cot 58^\circ + \cot 32^\circ)$
    • Расстояние равно полуразности оснований, делённой на $\sin\alpha$ ? (Требуется дополнительный расчёт)
    
    
    
15. Радиусы окружностей:
    Решение:
    • Расстояние между центрами: $6R$
    • Длина общей касательной: $2R\sqrt{5} = 18 \implies R = \frac{9}{\sqrt{5}}$
    Ответ: $\frac{9\sqrt{5}}{5}$ см и $9\sqrt{5}$ см.