Школа №777 из 7 в 8 класс демовариант

1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида (3б):
   1. (а) \((3a - b)(3a + b) + b^2\)
   2. (б) \(x^3 + x - (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\)
   
   
   
2. Решите уравнение (2б):
   \(6\bigl(\tfrac{2}{3}x - 1\bigr) + (-2x - 3) = 2(x - 3)\)
   
   
3. Выполните задание (2б):
   Задайте формулой линейную функцию \(y = kx\), график которой параллелен графику данной линейной функции \(y = \tfrac{1}{3}x + 2\).
   
   
4. Упростите выражение (2б):
   1. (а) \(\displaystyle\frac{a^7 \cdot a^9 : a^4}{a^{16} : a^6 \cdot a^2}\)
   2. (б) \(\displaystyle\frac{(10a^6 x^5)^6}{(5a^9 x^2)^4 \cdot (2a^9 x^6)^0}\)
   
   
   
5. Решите задачу (2б):
   Катер прошёл по течению реки за 2 ч такое же расстояние, какое он проходит за 2 ч 15 мин против течения. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите собственную скорость катера.
   
   
6. Вычислите рациональным способом (2б):
   \[ \frac{53^2 + 22^2 - 47^2 - 16^2} {65^2 - 2\cdot65\cdot59 + 59^2}. \]
   
   
7. Дополнительные задания:
   1. (3б) В треугольнике \(ABC\) \(\angle A : \angle B = 2 : 5\), \(\angle B : \angle C = 5 : 11\). Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины меньшего угла.
   2. (3б) Семья состоит из трёх человек: отца, матери и сына. Если бы зарплата матери увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 43%. Если бы стипендия сына увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 20%. Сколько процентов дохода семьи составляет зарплата отца?
   
   
   

Решения задач

1. 1. (а) Преобразуем выражение: \[ (3a - b)(3a + b) + b^2 = (3a)^2 - b^2 + b^2 = 9a^2 \] Ответ: \( 9a^2 \).
   2. (б) Раскроем скобки и упростим: \[ x^3 + x - (x^3 - 8) = x^3 + x - x^3 + 8 = x + 8 \] Ответ: \( x + 8 \).
2. Решим уравнение: \[ 6\left(\frac{2}{3}x - 1\right) + (-2x - 3) = 2(x - 3) \] Раскроем скобки: \[ 4x - 6 - 2x - 3 = 2x - 6 \implies 2x - 9 = 2x - 6 \] Переносим слагаемые: \[ 2x - 2x - 9 + 6 = 0 \implies -3 = 0 \] Ответ: решений нет.
3. График функции \( y = kx \) будет параллелен графику \( y = \frac{1}{3}x + 2 \), если \( k = \frac{1}{3} \).
   Ответ: \( y = \frac{1}{3}x \).
4. 1. (а) Упростим выражение: \[ \frac{a^{7+9-4}}{a^{16-6} \cdot a^2} = \frac{a^{12}}{a^{12}} = 1 \] Ответ: \( 1 \).
   2. (б) Преобразуем степени: \( \frac{10^6 \cdot a^{36} \cdot x^{30}}{5^4 \cdot a^{36} \cdot x^8} = \frac{64 \cdot 25^3 \cdot x^{22}}{625} = 1600x^{22} \) Ответ: \( 1600x^{22} \).
5. Пусть собственная скорость катера \( x \) км/ч. Составим уравнение: \[ 2(x + 3) = 2{,}25(x - 3) \] Решаем: \[ 2x + 6 = 2{,}25x - 6{,}75 \implies 0{,}25x = 12{,}75 \implies x = 51 \] Ответ: \( 51 \) км/ч.
6. Вычислим числитель и знаменатель: \[ \text{Числитель: } 53^2 - 47^2 + 22^2 - 16^2 = (53 - 47)(53 + 47) + (22 - 16)(22 + 16) = 6 \cdot 100 + 6 \cdot 38 = 828 \] \[ \text{Знаменатель: } (65 - 59)^2 = 6^2 = 36 \] Ответ: \( \frac{828}{36} = 23 \).
7. Дополнительные задания:
   1. (а) Найдём углы треугольника: \[ \angle A : \angle B : \angle C = 2 : 5 : 11 \implies 2k + 5k + 11k = 18k = 180^\circ \implies k = 10^\circ \] Углы: \( 20^\circ, 50^\circ, 110^\circ \). Используя свойства треугольника, угол между биссектрисой и высотой равен \( 15^\circ \).
      Ответ: \( 15^\circ \).
   2. (б) Пусть доход семьи \( F + M + S \): \[ 2M + F + S = 1{,}43(F + M + S) \implies M = 0{,}43(F + M + S) \] \[ F + M + 2S = 1{,}2(F + M + S) \implies S = 0{,}2(F + M + S) \] Доход отца: \[ F = 100\ 43\ 20% = 37\% \] Ответ: \( 37% \).