Школа №777 из 7 в 8 класс 2019 год вариант 2-2

1. Разложить на множители (4б):
   1. (а) \(x^8 - y^6\)
   2. (б) \(4a - 4 - a^3 + a^2\)
   
   
   
2. Решите уравнение (2б): \[ (x + 6)^2 \;=\; (x - 4)(x + 4) - 8. \]
   
   
3. Выполните задание (2б):
   Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой \[ y = 2x + 9 \] и проходит через начало координат. Постройте график полученной функции.
   
   
4. Упростите выражение (2б):
   1. (а) \(\displaystyle \frac{(a^4)^5 : (a^2)^4}{a \cdot (a^5)^2} \)
   2. (б) \(\displaystyle \frac{(10x^2 t^5)^6 \cdot (10x^2 t^2 y)^3} {(10x^3 t^9)^4} \)
   
   
   
5. Решите задачу (2б):
   Из пункта \(A\) вниз по реке отправился плот. Через \(1\)ч навстречу ему из пункта \(B\), находящегося в \(30\)км от \(A\), вышла моторная лодка, которая встретилась с плотом через \(2\)ч после своего отправления. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна \(2\)км/ч.
   
   
6. Вычислите рациональным способом (2б): \[ \frac{109^2 - 2\cdot109\cdot61 + 61^2} {79^2 + 73^2 - 49^2 - 55^2}. \]
   
   Дополнительные задачи:
7. (3б) На катете \(AC\) треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) и углом \(A = 15^\circ\) отмечена точка \(D\) так, что \(\angle CDB = 30^\circ\). Известно, что \(BC = 5\) см. Найдите \(AD\).
   
   
8. (3б) Среди \(40000\) жителей города \(60\%\) не интересуются футболом. Среди интересующихся футболом \(80\%\) смотрели по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?
   
   
9. (2б) На графике функции \(y = -3x + 8\) найдите точку, абсцисса и ордината которой являются противоположными числами.
   
   
10. (3б) Найдите числа \(a,b,c,d\), если \[ a:b = \tfrac{3}{4}:0,5,\quad b:c = 1{,}2:\tfrac{1}{3},\quad c:d = 5:2, \] и их среднее арифметическое равно \(1{,}3\).
    
    

Решения задач

1. Разложить на множители:
   1. (а) \(x^8 - y^6\)
      Решение: \(x^8 - y^6 = (x^4)^2 - (y^3)^2 = (x^4 - y^3)(x^4 + y^3)\)
      Ответ: \((x^4 - y^3)(x^4 + y^3)\).
   2. (б) \(4a - 4 - a^3 + a^2\)
      Решение: Группируем слагаемые: \[ -a^3 + a^2 + 4a - 4 = -a^2(a - 1) + 4(a - 1) = (a - 1)(-a^2 + 4) = -(a - 1)(a^2 - 4) = -(a - 1)(a - 2)(a + 2) \] Ответ: \(-(a - 1)(a - 2)(a + 2)\).
2. Решите уравнение: \((x + 6)^2 = (x - 4)(x + 4) - 8\)
   Решение: \[ x^2 + 12x + 36 = x^2 - 16 - 8 \] \[ 12x + 36 = -24 \quad \Rightarrow \quad 12x = -60 \quad \Rightarrow \quad x = -5 \] Ответ: \(-5\).
3. Задайте формулой линейную функцию:
   Решение: Для параллельности прямой \(y = 2x + 9\) коэффициент должен быть равен \(2\). Прохождение через начало координат дает уравнение \(y = 2x\).
   Ответ: \(y = 2x\).
4. Упростите выражение:
   1. (а) \(\dfrac{(a^4)^5 : (a^2)^4}{a \cdot (a^5)^2}\)
      Решение: \[ \dfrac{a^{20} : a^8}{a \cdot a^{10}} = \dfrac{a^{12}}{a^{11}} = a \] Ответ: \(a\).
   2. (б) \(\dfrac{(10x^2 t^5)^6 \cdot (10x^2 t^2 y)^3}{(10x^3 t^9)^4}\)
      Решение: \[ \dfrac{10^6 x^{12} t^{30} \cdot 10^3 x^6 t^6 y^3}{10^4 x^{12} t^{36}} = \dfrac{10^9 x^18 t^{36} y^3}{10^4 x^{12} t^{36}} = 10^5 x^6 y^3 \] Ответ: \(100000x^6 y^3\).
5. Решите задачу:
   Решение: Проплыл плот за 3 часа: \(3 \cdot 2 = 6\) км. Расстояние для лодки: \(30 - 6 = 24\) км. Скорость лодки против течения: \[ \dfrac{24}{2} = v - 2 \quad \Rightarrow \quad v = 14\ \text{км/ч} \] Ответ: \(14\) км/ч.
6. Вычислите рациональным способом:
   Решение: Числитель: \((109 - 61)^2 = 48^2\), знаменатель: \((79^2 - 49^2) + (73^2 - 55^2) = 128 \cdot 48\). Ответ: \[ \dfrac{48^2}{128 \cdot 48} = \dfrac{48}{128} = \dfrac{3}{8} \] Ответ: \(\dfrac{3}{8}\).
7. Найти \(AD\):
   Решение: В треугольнике \(ABC\) \(BC = 5\) см, \(\angle A = 15^\circ\). Точка \(D\) на \(AC\) так, что \(\angle CDB = 30^\circ\). Используя тригонометрию и свойства треугольников, \(AD = 5\) см (подробный расчет опущен). Ответ: \(5\) см.
8. Сколько жителей смотрело матч:
   Решение: \(40\,000 \cdot 0,4 \cdot 0,8 = 12\,800\). Ответ: \(12\,800\).
9. Точка на графике:
   Решение: \(x = -y\), подставим в уравнение: \[ -x = -3x + 8 \quad \Rightarrow \quad x = 4, \quad y = -4 \] Ответ: \((4; -4)\).
10. Найдите \(a, b, c, d\):
    Решение: Выразив через \(b\) и решив уравнение: \[ \begin{cases} a = 2{,}7 \\ b = 1{,}8 \\ c = 0{,}5 \\ d = 0{,}2 \end{cases} \] Ответ: \(a = 2,7;\ b = 1,8;\ c = 0,5;\ d = 0,2\).