Школа №777 из 7 в 8 класс 2019 год вариант 2-1

1. Разложить на множители (4б):
   1. (а) \(x^6 - 27x^2\)
   2. (б) \(a + 1 + a^4 + a^3\)
   
   
   
2. Решите уравнение (2б): \[ (3x - 4)^2 - (5 - 3x)^2 = 7 \]
   
   
3. Выполните задание (2б):
   Задайте линейную функцию формулой, если известно, что её график проходит через точку \(M(1;4)\) и не пересекает график функции \(y = -3x + 1\). Постройте график полученной функции.
   
   
4. Упростите выражение (2б):
   1. (а) \(\displaystyle \frac{b^{13}\cdot b^{12} \;:\; b^3} {b^{20}\;:\; b^4 \;:\; b^3} \)
   2. (б) \(\displaystyle \frac{(3x^2c^3)^2\cdot 27x^{15}c^4} {(3x^2c)^5} \)
   
   
   
5. Решите задачу (2б):
   Теплоход прошёл расстояние между пристанями по течению реки за \(4\) ч \(15\) мин, а против течения — за \(5\) ч \(15\) мин. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки \(2\) км/ч.
   
   
6. Вычислите рациональным способом (2б): \[ \frac{0,12^3 - 0,28^3}{0,16} \;-\; 0,12 \cdot 0,28 \]
   
   
7. (3б) В треугольнике \(BCK\), \(\angle B:\angle C:\angle K = 3:5:10\). Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины наименьшего угла.
   
   
8. (3б) \(35\%\) всех работающих на заводе составляли женщины, \(58\%\) — мужчины, остальные \(98\) человек были ученики. Сколько мужчин и сколько женщин было среди взрослых рабочих?
   
   

1. (2б) Даны точки \(A(6;2)\), \(B(-9;-3)\). В какой точке отрезок \(AB\) пересекает ось абсцисс?
2. (3б) Из трёх чисел отношение первого ко второму равно \(5:3\). Третье число составляет треть от второго. Найдите эти числа, если их сумма равна \(900\).

Решения задач

1. Разложить на множители:
   1. (а) \(x^6 - 27x^2\)
      Решение: \[ x^6 - 27x^2 = x^2(x^4 - 27) = x^2(x^2 - 3)(x^4 + 3x^2 + 9) \] Ответ: \(x^2(x^2 - 3)(x^4 + 3x^2 + 9)\).
   2. (б) \(a + 1 + a^4 + a^3\)
      Решение: \[ a + 1 + a^4 + a^3 = (a + 1) + a^3(a + 1) = (a + 1)(a^3 + 1) = (a + 1)^2(a^2 - a + 1) \] Ответ: \((a + 1)^2(a^2 - a + 1)\).
2. Решите уравнение: \[ (3x - 4)^2 - (5 - 3x)^2 = 7 \] Решение: \[ (3x - 4)^2 - (5 - 3x)^2 = (6x - 9) \cdot 1 = 7 \quad \Rightarrow \quad 6x = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{8}{3} \] Ответ: \(\frac{8}{3}\).
3. Задайте линейную функцию, график которой проходит через точку \(M(1;4)\) и не пересекает график функции \(y = -3x + 1\).
   Решение: Условие параллельности прямых \(k = -3\). Тогда \(4 = -3 \cdot 1 + b\) \(\Rightarrow\) \(b = 7\).
   Ответ: \(y = -3x + 7\).
4. Упростите выражение:
   1. (а) \(\displaystyle \frac{b^{13} \cdot b^{12} \;:\; b^3}{b^{20} \;:\; b^4 \;:\; b^3} \)
      Решение: \[ \frac{b^{22}}{b^{13}} = b^9 \] Ответ: \(b^9\).
   2. (б) \(\displaystyle \frac{(3x^2c^3)^2 \cdot 27x^{15}c^4}{(3x^2c)^5} \)
      Решение: \[ 243x^{19}c^{10} \div (243x^{10}c^5) = x^9c^5 \] Ответ: \(x^9c^5\).
5. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки \(2\) км/ч.
   Решение: \[ (v + 2) \cdot 4.25 = (v - 2) \cdot 5.25 \quad \Rightarrow \quad v = 19 \text{ км/ч}. \] Ответ: \(19\) км/ч.
6. Вычислите рациональным способом: \[ \frac{0,12^3 - 0,28^3}{0,16} - 0,12 \cdot 0,28 \] Решение: Используя разность кубов: \[ \frac{(0.12 - 0.28)(0.12^2 + 0.12 \cdot 0.28 + 0.28^2)}{0.16} - 0.0336 = -0.16 \] Ответ: \(-0.16\).
7. Найдите угол между высотой и биссектрисой треугольника \(BCK\).
   Решение: Углы треугольника: \(30^\circ, 50^\circ, 100^\circ\).
   Биссектриса делит угол \(30^\circ\) на \(15^\circ\), высота образует \(90^\circ\).
   Ответ: \(25^\circ\).
8. Сколько мужчин и женщин было среди взрослых рабочих?
   Решение: \(7% = 98\) человек \(\Rightarrow 930% = 1302\) взрослых.
   Женщины: \(35% \cdot 1400 = 490\), мужчины: \(58% \cdot 1400 = 812\).
   Ответ: \(490\) женщин и \(812\) мужчин.
9. Точка пересечения отрезка \(AB\) с осью абсцисс.
   Решение: Уравнение прямой через \(A(6;2)\) и \(B(-9;-3)\): \(y = \frac{1}{3}x\).
   Ось абсцисс: \(x = 0\).
   Ответ: \((0; 0)\).
10. Найдите три числа, если их сумма равна \(900\).
    Решение: Пусть числа \(5k\), \(3k\), \(k\). Тогда \(5k + 3k + k = 900\) \(\Rightarrow\) \(k = 100\).
    Ответ: \(500\), \(300\), \(100\).