Школа №777 из 7 в 8 класс 2019 год вариант 1-2

1. Разложить на множители (4б):
   1. (а) \(4x^4 - 25y^{10}\)
   2. (б) \(8x - 8 - x^4 + x^3\)
   
   
   
2. Решите уравнение (2б): \[ (x - 5)(x + 5) \;=\; (x - 3)^2 + 2. \]
   
   
3. Выполните задание (3б):
   Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой \[ y = -8x + 11 \] и проходит через начало координат. Постройте график полученной функции.
   
   
4. Упростите выражение (2б):
   1. (а) \(\displaystyle \frac{\,(b^6)^3 \cdot b} {(b^3)^2 \cdot (b^5)^2} \)
   2. (б) \(\displaystyle \frac{(5m^4n^6)^4 \cdot (5m^{12}n^{20})^0} {(5m^4n^8)^3} \)
   
   
   
5. Решите задачу (2б):
   Из пункта \(A\) вверх по течению к пункту \(B\), расстояние до которого от \(A\) равно \(35\) км, вышла моторная лодка. Через \(0{,}5\) ч навстречу ей из пункта \(B\) отплыл плот и встретил лодку через \(1{,}5\) ч после своего отправления. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна \(2\) км/ч.
   
   
6. Вычислите рациональным способом (2б):
   \[ \frac{53^2 + 22^2 - 47^2 - 16^2} {65^2 - 2\cdot65\cdot59 + 59^2}. \]
   
   Дополнительные задачи:
7. (3б) Дан треугольник \(ABC\), в котором \(\angle A = 30^\circ\) и \(\angle C = 60^\circ\). Точка \(M\) — середина стороны \(AC\). Найдите угол \(\angle CBM\).
8. (3б) В городе \(N\) живёт \(200\,000\) жителей. Среди них \(15\%\) — дети и подростки. Среди взрослых жителей \(45\%\) не работает (пенсионеры, студенты и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?
   
   
9. (2б) На графике функции \(y = 5x - 8\) найдите точку, абсцисса которой противоположна её ординате.
   
   
10. (3б) Найдите числа \(a,b,c,d\), если \[ a : b = 1 : 2,\quad b : c = 3 : 4,\quad c : d = 2 : 7, \] и их сумма равна \(90\).
    
    

Решения задач

1. 1. (а)Разложить на множители \(4x^4 - 25y^{10}\).
      Решение: Представим выражение как разность квадратов: \[ 4x^4 - 25y^{10} = (2x^2)^2 - (5y^5)^2 = (2x^2 - 5y^5)(2x^2 + 5y^5). \] Ответ: \((2x^2 - 5y^5)(2x^2 + 5y^5)\).
   2. (б) Разложить на множители \(8x - 8 - x^4 + x^3\).
      Решение: Сгруппируем слагаемые: \[ 8(x - 1) - x^3(x - 1) = (x - 1)(8 - x^3). \] Разложим \(8 - x^3\) как разность кубов: \[ 8 - x^3 = (2)^3 - x^3 = (2 - x)(4 + 2x + x^2). \] Итоговое разложение: \[ (x - 1)(2 - x)(x^2 + 2x + 4). \] Ответ: \((x - 1)(2 - x)(x^2 + 2x + 4)\).
2. Решите уравнение \((x - 5)(x + 5) = (x - 3)^2 + 2\).
   Решение: Раскроем скобки: \[ x^2 - 25 = x^2 - 6x + 9 + 2. \] Упростим: \[ x^2 - 25 = x^2 - 6x + 11 \implies -25 = -6x + 11 \implies 6x = 36 \implies x = 6. \] Ответ: 6.
3. Задать формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой \(y = -8x + 11\) и проходит через начало координат.
   Решение: У параллельных прямых совпадают угловые коэффициенты. Поскольку функция проходит через точку \((0; 0)\), уравнение имеет вид: \[ y = -8x. \] Ответ: \(y = -8x\).
4. 1. (а)Упростить выражение \(\displaystyle\frac{(b^6)^3 \cdot b}{(b^3)^2 \cdot (b^5)^2}\).
      Решение: Преобразуем степени: \[ \frac{b^{18} \cdot b}{b^6 \cdot b^{10}} = \frac{b^{19}}{b^{16}} = b^3. \] Ответ: \(b^3\).
   2. (б) Упростить выражение \(\displaystyle\frac{(5m^4n^6)^4 \cdot (5m^{12}n^{20})^0}{(5m^4n^8)^3}\).
      Решение: \[ \frac{5^4m^{16}n^{24} \cdot 1}{5^3m^{12}n^{24}} = 5^{4-3}m^{16-12}n^{24-24} = 5m^4. \] Ответ: \(5m^4\).
5. Решить задачу на движение:
   Собственная скорость лодки \(x\) км/ч. Путь лодки до встречи: \((0{,}5 + 1{,}5)(x - 2)\). Путь плота: \(1{,}5 \cdot 2 = 3\) км. Уравнение: \[ 2(x - 2) + 3 = 35 \implies 2x - 4 = 32 \implies x = 18. \] Ответ: 18 км/ч.
6. Вычислить рациональным способом:
   Числитель: \((53^2 - 47^2) + (22^2 - 16^2) = (53 - 47)(53 + 47) + (22 - 16)(22 + 16) = 6 \cdot 100 + 6 \cdot 38 = 828\). Знаменатель: \((65 - 59)^2 = 36\). \[ \frac{828}{36} = 23. \] Ответ: 23.
7. Дополнительные задачи:
   1. В треугольнике \(ABC\) с углами \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle C = 60^\circ\), точка \(M\) — середина \(AC\). Так как \(\angle B = 90^\circ\), медиана \(BM = \frac{AC}{2}\). В треугольнике \(ABM\) угол \(\angle ABM = 75^\circ\), следовательно, \(\angle CBM = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ\). Ответ: \(15^\circ\).
   2. Взрослых жителей: \(200\,000 \cdot 0{,}85 = 170\,000\). Работающих: \(170\,000 \cdot 0{,}55 = 93\,500\). Ответ: 93 500.
8. Найти точку на графике \(y = 5x - 8\), где \(x = -y\).
   Решение: Подстановка \(y = 5(-y) - 8 \implies 6y = -8 \implies y = -\frac{4}{3}\). Тогда \(x = \frac{4}{3}\). Ответ: \(\left(\frac{4}{3}; -\frac{4}{3}\right)\).
9. Найти \(a,b,c,d\) при соотношениях \(a:b = 1:2\), \(b:c = 3:4\), \(c:d = 2:7\). Общий коэффициент \(k\): \[ a = k,\quad b = 2k,\quad c = \frac{8k}{3},\quad d = \frac{28k}{3}. \] Сумма: \(k + 2k + \frac{8k}{3} + \frac{28k}{3} = 90 \implies 45k = 270 \implies k = 6\). Ответ: \(a = 6\), \(b = 12\), \(c = 16\), \(d = 56\).