Школа №777 из 7 в 8 класс 2019 год вариант 1-1

1. Разложить на множители (4б):
   1. (а) \(x^6 - 16x^2\)
   2. (б) \(a^4 - a^3 - a + 1\)
   
   
   
2. Решите уравнение (2б):
   \[ (2x - 3)^2 - (7 - 2x)^2 = 2 \]
   
   
3. Выполните задание (3б):
   Задайте формулой функцию, график которой параллелен прямой \[ y = \frac{x}{3} + 3 \] и проходит через точку \(K(3; -1)\). Постройте график полученной функции.
   
   
4. Упростите выражение (2б):
   1. (а) \(\displaystyle \frac{c^3\cdot c^5 : c^6}{c^7\cdot c^8 : c^{14}} \)
   2. (б) \(\displaystyle \frac{(3a^5b^3)^4\cdot(2a^3b^2)^0}{(6a^4b^2)^5} \)
   
   
   
5. Решите задачу (2б):
   Катер по течению реки прошёл за \(3\) ч \(30\) мин такое же расстояние, какое он проходит за \(4\) ч против течения. Собственная скорость катера \(30\) км/ч. Определите скорость течения реки.
   
   
6. Вычислите рациональным способом (2б):
   \[ \frac{0{,}4^3 - 0{,}26^3}{0{,}2} \;-\; 3\cdot0{,}26\cdot0{,}46 \]
   
   
7. (3б) В треугольнике \(KMN\), \(\angle K:\angle M=1:3\), \(\angle M:\angle N=3:5\). Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины наибольшего угла.
   
   
8. (3б) \(25\%\) площади фермерского хозяйства засеяно рожью, \(35\%\) – кукурузой, остальная часть – пшеницей, причём пшеницей засеяно на 398 га больше, чем кукурузой. Найдите общую площадь хозяйства.
   
   

1. (2б) Даны точки \(A(8;2)\), \(B(-4;-1)\). В какой точке отрезок \(AB\) пересекает ось ординат?
2. (3б) Из трёх чисел отношение первого ко второму равно \(7:4\). Третье число составляет \(25\%\) от второго. Найдите эти числа, если их сумма равна 600.

Решения задач

1. Разложить на множители:
   1. (а) \(x^6 - 16x^2\)
      Решение: Вынесем общий множитель:
      \(x^2(x^4 - 16) = x^2(x^2 - 4)(x^2 + 4) = x^2(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\)
      Ответ: \(x^2(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\).
   2. (б) \(a^4 - a^3 - a + 1\)
      Решение: Сгруппируем слагаемые:
      \((a^4 - a^3) - (a - 1) = a^3(a - 1) - 1(a - 1) = (a - 1)(a^3 - 1) = (a - 1)^2(a^2 + a + 1)\)
      Ответ: \((a - 1)^2(a^2 + a + 1)\).
   
   
   
2. Решите уравнение: \[ (2x - 3)^2 - (7 - 2x)^2 = 2 \] Решение: Раскроем квадраты:
   \(4x^2 - 12x + 9 - (4x^2 - 28x + 49) = 2\)
   \(4x^2 - 12x + 9 - 4x^2 + 28x - 49 = 2\)
   \(16x - 40 = 2\)
   \(16x = 42 \Rightarrow x = \frac{21}{8} = 2,625\)
   Ответ: \(2,625\).
3. Задайте формулой функцию, параллельную прямой \(y = \frac{x}{3} + 3\)
   Решение: У параллельной прямой такой же угловой коэффициент \(k = \frac{1}{3} \). Подставим точку \(K(3; -1)\):
   \(-1 = \frac{1}{3} \cdot 3 + b \Rightarrow b = -2\)
   Ответ: \(y = \frac{1}{3}x - 2\).
4. Упростите выражения:
   1. (а) \(\displaystyle \frac{c^3\cdot c^5 : c^6}{c^7\cdot c^8 : c^{14}}\)
      Решение: Приведем степени к одному основанию:
      \(\frac{c^{3+5-6}}{c^{7+8-14}} = \frac{c^2}{c^1} = c\)
      Ответ: \(c\).
   2. (б) \(\displaystyle \frac{(3a^5b^3)^4\cdot(2a^3b^2)^0}{(6a^4b^2)^5}\)
      Решение: Раскроем степени и упростим:
      \(\frac{3^4 \cdot a^{20} \cdot b^{12} \cdot 1}{6^5 \cdot a^{20} \cdot b^{10}} = \frac{81}{7776} \cdot \frac{b^{12}}{b^{10}} = \frac{1}{96} \cdot b^2\)
      Ответ: \(\frac{b^2}{96}\).
5. Определите скорость течения реки
   Решение: Пусть \(x\) - скорость течения. По условию:
   \(3,5(30 + x) = 4(30 - x)\)
   \(105 + 3,5x = 120 - 4x\)
   \(7,5x = 15 \Rightarrow x = 2\) км/ч
   Ответ: 2 км/ч.
6. Вычислите рациональным способом: \[ \frac{0{,}4^3 - 0{,}26^3}{0{,}2} -3\cdot0{,}26\cdot0{,}46 \] Решение: Заметим, что \(0,4 = 2 \cdot 0,2\), а \(0,4^3 = 8 \cdot 0,2^3\). Тогда:
   \(\frac{8 \cdot 0,2^3 - 0,26^3}{0,2} - 3 \cdot 0,26 \cdot 0,46 = 8 \cdot 0,2^2 - \frac{0,26^3}{0,2} - 3 \cdot 0,26 \cdot 0,46\)
   Подсчитаем отдельно:
   \(8 \cdot 0,04 = 0,32\); \(\frac{0,017576}{0,2} = 0,08788\); \(0,26 \cdot 0,46 = 0,1196\)
   Тогда: \(0,32 - 0,08788 - 0,3588 = -0,12668\)
   Ответ: \(-0,12668\).
7. Угол между высотой и биссектрисой в треугольнике
   Решение: Углы треугольника: \(K: M: N = 1:3:5\). Сумма частей: \(1 + 3 + 5 = 9\) ⇒ каждая часть \(180° /9 = 20°\). Углы: \(20°\), \(60°\), \(100°\). Из вершины \(100°\) биссектриса делит угол на \(50°\), высота опущена под \(90°\). В прямоугольном треугольнике углы: \(90° - 80° = 10°\). Итоговый угол между высотой и биссектрисой: \(50° - 10° = 40°\).
   Ответ: \(40°\).
8. Общая площадь хозяйства
   Решение: Разность площадей под пшеницей и кукурузой: \(40\ 35% = 5\%\). Эта разность равна 398 га ⇒ \(5% \rightarrow 398\) ⇒ \(100% \rightarrow 7960\) га.
   Ответ: 7960 га.
9. Точка пересечения отрезка AB с осью ординат
   Решение: Уравнение прямой через точки \(A(8;2)\) и \(B(-4;-1)\):
   \(k = \frac{-1 -2}{-4 -8} = \frac{-3}{-12} = 0,25\)
   \(y -2 = 0,25(x -8) \Rightarrow y = 0,25x\). Пересечение с осью Y при \(x=0\) ⇒ \(y=0\).
   Ответ: \((0;0)\).
10. Три числа, сумма 600
    Решение: Пусть числа \(7k\), \(4k\), \(k\) (третье число составляет \(25\%\) от второго \(4k)\).
    Сумма: \(7k + 4k + k = 12k = 600 \Rightarrow k = 50\). Числа: \(350\), \(200\), \(50\).
    Ответ: \(350\), \(200\), \(50\).