Школа №777 из 6 в 7 класс 2021 год вариант 1

Часть I

Выполните задания с обоснованием и запишите ответ:

1. (1) (1 балл) На сколько процентов 14 меньше, чем 56?
2. (2) (1 балл) На карте с масштабом $1:1\,000\,000$ расстояние между двумя городами равно $8{,}1$ мм. Вычислите расстояние между этими городами на местности.
3. (3) (1 балл) Разделите число 91 в отношении $8:18$.
4. (4) (1 балл) Если Вера будет читать по $36$ страниц в день, она прочитает книгу за $7$ дней. Сколько дней уйдёт на прочтение той же книги, если Вера будет читать по $42$ страницы в день?
5. (5) (1 балл) Найдите среднее арифметическое чисел $3{,}25$, $1\tfrac{1}{7}$ и $7{,}5$.

Часть II

1. (6) (3 балла) Вычислите: \[ \bigl(4,5\colon\tfrac{1}{5}\;-\;\tfrac{5}{8}\colon0,75\bigr)\cdot2,3 \;-\; 3\tfrac{2}{3}\cdot2,3. \]
   
   
2. (7) (3 балла) Собственная скорость лодки $31{,}3$ км/ч, а скорость по течению реки $34{,}2$ км/ч. Какое расстояние проплывёт лодка, если будет двигаться $3$ ч против течения?

Часть III

1. (8) (3 балла) Решите уравнение: \[ \frac{8y - 2}{1\tfrac{2}{3}} = \frac{3y + 1}{0,8}. \]
   
   
2. (9) (3 балла) В хоре мальчики составляли $25\%$. После того как в хор приняли ещё трёх мальчиков, доля мальчиков стала $28\%$. Сколько девочек в хоре?

Решения задач

1. На сколько процентов 14 меньше, чем 56?
   Решение: Найдем разницу между числами: $56 - 14 = 42$.
   Процентное отношение разницы к исходному числу: $\frac{42}{56} \cdot 100% = 0,75 \cdot 100% = 75\%$.
   Ответ: на $75\%$.
2. На карте с масштабом $1:1\,000\,000$ расстояние между двумя городами равно $8{,}1$ мм. Вычислите расстояние между этими городами на местности.
   Решение: Масштаб означает, что 1 мм на карте соответствует $1\,000\,000$ мм на местности.
   Расстояние на местности: $8{,}1 \cdot 1\,000\,000 = 8\,100\,000$ мм.
   Переведем в километры: $8\,100\,000$ мм $= 8100$ м $= 8{,}1$ км.
   Ответ: 8,1 км.
3. Разделите число 91 в отношении $8:18$.
   Решение: Сумма частей отношения: $8 + 18 = 26$.
   Первая часть: $\frac{8}{26} \cdot 91 = \frac{8 \cdot 91}{26} = 28$.
   Вторая часть: $91 - 28 = 63$.
   Ответ: 28 и 63.
4. Если Вера будет читать по 36 страниц в день, она прочитает книгу за 7 дней. Сколько дней уйдёт на прочтение той же книги, если Вера будет читать по 42 страницы в день?
   Решение: Всего страниц в книге: $36 \cdot 7 = 252$.
   Время при новой скорости: $\frac{252}{42} = 6$ дней.
   Ответ: 6 дней.
5. Найдите среднее арифметическое чисел $3{,}25$, $1\tfrac{1}{7}$ и $7{,}5$.
   Решение: Переведем числа в десятичные дроби: $1\tfrac{1}{7} \approx 1{,}142857$.
   Сумма: $3{,}25 + 1{,}142857 + 7{,}5 = 11{,}892857$.
   Среднее арифметическое: $\frac{11{,}892857}{3} \approx 3{,}964$.
   Ответ: $3{,}96$ (или $3\frac{27}{28}$).
6. Вычислите: $\left(4,5\colon\tfrac{1}{5} - \tfrac{5}{8}\colon0,75\right)\cdot2,3 - 3\tfrac{2}{3}\cdot2,3$.
   Решение:
   $4,5 : \frac{1}{5} = 4,5 \cdot 5 = 22,5$.
   $\frac{5}{8} : 0,75 = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{5}{6}$.
   $22,5 - \frac{5}{6} = 22,5 - 0,833\dot{3} = 21,666\dot{3}$.
   $21,666\dot{3} \cdot 2,3 = 49,833\dot{3}$.
   $3\tfrac{2}{3} \cdot 2,3 = \frac{11}{3} \cdot 2,3 \approx 8,433\dot{3}$.
   $49,833\dot{3} - 8,433\dot{3} = 41,4$.
   Ответ: 41,4.
7. Собственная скорость лодки $31{,}3$ км/ч, а скорость по течению реки $34{,}2$ км/ч. Какое расстояние проплывёт лодка, если будет двигаться $3$ ч против течения?
   Решение: Скорость течения: $34,2 - 31,3 = 2,9$ км/ч.
   Скорость против течения: $31,3 - 2,9 = 28,4$ км/ч.
   Расстояние: $28,4 \cdot 3 = 85,2$ км.
   Ответ: 85,2 км.
8. Решите уравнение: $\frac{8y - 2}{1\tfrac{2}{3}} = \frac{3y + 1}{0,8}$.
   Решение: Преобразуем смешанные числа:
   $1\tfrac{2}{3} = \frac{5}{3}$, $0,8 = \frac{4}{5}$.
   Уравнение примет вид:
   $\frac{8y}{5/3} = \frac{3y+1}{4/5}$
   Упростим: $ \frac{24y - 6}{5} = \frac{15y + 5}{4}$.
   Умножим обе части на 20: $4(24y - 6) = 5(15y + 5)$.
   $96y - 24 = 75y + 25$.
   $21y = 49$, $y = \frac{49}{21} = \frac{7}{3}$.
   Ответ: $\frac{7}{3}$.
9. В хоре мальчики составляли $25\%$. После того как в хор приняли ещё трёх мальчиков, доля мальчиков стала $28\%$. Сколько девочек в хоре?
   Решение: Пусть изначально мальчиков $m$, девочек $d$.
   Первое уравнение: $\frac{m}{m + d} = 0,25$, откуда $d = 3m$.
   После добавления 3 мальчиков: $\frac{m + 3}{m + d + 3} = 0,28$.
   Подставляем $d = 3m$: $\frac{m + 3}{4m + 3} = 0,28$.
   Решаем: $m + 3 = 0,28(4m + 3)$.
   $m = 18$, $d = 3 \cdot 18 = 54$.
   Ответ: 54 девочки.