Школа №777 из 6 в 7 класс 2019 год вариант 2-1

1. Решите уравнение (2б):
   1. (а) \(\displaystyle \frac{2}{5}y - 8 = \frac{1}{2}y + 2\)
   2. (б) \(\displaystyle \frac{t}{\tfrac{2}{3}\colon 23} = \frac{3\tfrac{2}{7}}{0,25}\)
   
   
   
2. Решите задачу (2б):
   При выполнении задания по математике \(12\%\) учащихся класса совсем не решили задачу, \(32\%\) решили с ошибками, а оставшиеся 14 учащихся решили правильно. Сколько учащихся было в классе?
   
   
3. Вычислите (2б): \[ \frac{% -0,4\;\bigl(4,2\colon0,21 - \tfrac{3}{4}\cdot12\bigr) }{% \,(7 + \tfrac{4}{33}\cdot66)\colon(-0,1) }. \]
   
   
4. Решите задачу (2б):
   Луч \(OK\) делит развёрнутый угол \(AOC\) на два угла \(\angle AOK\) и \(\angle KOC\). Найдите их величины, если \(\angle AOK\) на \(53^\circ\) меньше \(\angle KOC\).
   
   
5. Решите задачу (2б):
   Для выравнивания дороги поставлены две грейдерные машины различной мощности. Первая может выполнить всю работу за 36 дней, а вторая — за 45 дней. За сколько дней выполнят всю работу обе машины, работая совместно?
   
   
6. (2б) Какую цифру следует поставить вместо «\(*\)» в числе \(9*425*\), чтобы полученное число делилось на 15?
   
   
7. (3б) Путешественник хочет пересечь пустыню по заданному маршруту длиной \(80\)км, имея возможность проходить ежедневно по \(20\)км и брать с собой в дорогу лишь трёхдневный запас продовольствия (только из начальной точки маршрута). В конце дневных переходов он может устраивать склады с запасами продовольствия для будущего использования. За какое наименьшее количество дней он сможет пересечь пустыню? Сможет ли он пересечь пустыню за 15 дней, если маршрут имеет длину \(100\)км?
   
   

1. (3б) Маленький зелененький тираннозаврик Рекс загадал число, увеличил его на 20%, а потом уменьшил полученное число на 20% и получил 48. Какое число загадал Рекс?
   
   
2. (3б) Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если цифру 2 перенести с первого места на последнее (остальные пять цифр сохранить в том же порядке), то вновь полученное число будет вдвое больше первоначального. Найдите первоначальное число.

Решения задач

1. Решите уравнение:
   1. (а) \(\displaystyle \frac{2}{5}y - 8 = \frac{1}{2}y + 2\)
      Решение: \[ \frac{2}{5}y - 8 = \frac{1}{2}y + 2 \] Переносим все слагаемые с \(y\) влево, числа вправо: \[ \frac{2}{5}y - \frac{1}{2}y = 2 + 8 \] Приводим к общему знаменателю: \[ \left(\frac{4}{10} - \frac{5}{10}\right)y = 10 \implies -\frac{1}{10}y = 10 \implies y = -100 \] Ответ: \(-100\).
   2. (б) \(\displaystyle \frac{t}{\tfrac{2}{3}\colon 23} = \frac{3\tfrac{2}{7}}{0,25}\)
      Решение: \[ \frac{t}{\frac{2}{3} \colon 23} = \frac{3\frac{2}{7}}{0,25} \] Упрощаем знаменатель левой части: \[ \frac{2}{3} \colon 23 = \frac{2}{69} \implies \frac{t}{\frac{2}{69}} = \frac{23}{7} \colon 0,25 = \frac{23}{7} \cdot 4 = \frac{92}{7} \] Решаем уравнение: \[ t = \frac{92}{7} \cdot \frac{2}{69} = \frac{8}{21} \] Ответ: \(\frac{8}{21}\).
   
   
   
2. Решите задачу:
   При выполнении задания 12% учащихся не решили задачу, 32% решили с ошибками, а остальные 14 учащихся решили правильно. Сколько учащихся было в классе?
   Решение: Оставшиеся \(100\ 12\ 32% = 56\%\) — это 14 учеников. Тогда общее число учащихся: \[ 14 \colon 0,56 = 25 \] Ответ: 25.
   
   
3. Вычислите: \[ \frac{% -0,4\;\bigl(4,2\colon0,21 - \tfrac{3}{4}\cdot12\bigr) }{% \,(7 + \tfrac{4}{33}\cdot66)\colon(-0,1) } \] Решение: Вычисляем числитель: \[ 4,2\colon0,21 = 20,\quad \frac{3}{4} \cdot 12 = 9 \implies 20 - 9 = 11 \implies -0,4 \cdot 11 = -4,4 \] Вычисляем знаменатель: \[ \frac{4}{33} \cdot 66 = 8 \implies 7 + 8 = 15 \implies 15 \colon (-0,1) = -150 \] Итоговое значение: \[ \frac{-4,4}{-150} = \frac{11}{375} \] Ответ: \(\frac{11}{375}\).
   
   
4. Решите задачу:
   Луч \(OK\) делит развёрнутый угол \(AOC\) на два угла. Найдите их величины, если \(\angle AOK\) на \(53^\circ\) меньше \(\angle KOC\).
   Решение: Пусть \(\angle KOC = x\), тогда \(\angle AOK = x - 53^\circ\). Поскольку сумма углов равна \(180^\circ\): \[ x + (x - 53^\circ) = 180^\circ \implies 2x = 233^\circ \implies x = 116,5^\circ \] Ответ: \(\angle AOK = 63,5^\circ\), \(\angle KOC = 116,5^\circ\).
   
   
5. Решите задачу:
   Первая машина выполнит работу за 36 дней, вторая — за 45 дней. Работая вместе, они выполнят работу за:
   Решение: Совместная скорость работы: \[ \frac{1}{36} + \frac{1}{45} = \frac{5 + 4}{180} = \frac{1}{20} \implies 20 \text{ дней} \] Ответ: 20 дней.
   
   
6. Какую цифру поставить в числе \(9*425*\), чтобы оно делилось на 15?
   Решение: Число делится на 15, если делится на 3 и 5. Последняя цифра (*) — 0 или 5. Сумма цифр должна делиться на 3: \[ 9 + 4 + 2 + 5 =20 \] Возможные пары:
   • Вторая цифра: 1, 4, 7; последняя цифра: 0.
   • Вторая цифра: 2, 5, 8; последняя цифра: 5.
   Ответ: (1, 4, 7 и 0) или (2, 5, 8 и 5).
   
   
7. Минимальное количество дней для пересечения 80 км:
   Решение: Для создания складов и оптимизации перемещения требуется 7 дней. Для 100 км за 15 дней невозможно, так как с увеличением расстояния расход времени растёт нелинейно.
   Ответ: 7 дней; для 100 км за 15 дней — невозможно.
   
   
8. Число, увеличенное на 20%, затем уменьшенное на 20%, дало 48.
   Решение: \[ x \cdot 1,2 \cdot 0,8 = 48 \implies x \cdot 0,96 = 48 \implies x = 50 \] Ответ: 50.
   
   
9. Исходное шестизначное число начинается с 2. Перенос 2 в конец увеличивает число вдвое.
   Решение: Пусть исходное число \(2abcde\), новое число \(abcde2\). Тогда: \[ 2 \cdot 200000 + 20000a + 2000b + 200c + 20d + 2e = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + 2 \] Находим число \(285714\), так как: \[ 285714 \cdot 2 = 571428 \] Ответ: 285714.