Школа №777 из 5 в 6 класс демовариант

1. Выполните действия в одном примере на выбор (1б):
   1. $(16386 - 396)\colon78 + 402\cdot306$
   2. $18,64\colon(9,65 - 7,32) - 24\colon6,25$
   
   
   
2. Решите одно уравнение на выбор (1б):
   1. $6\cdot(12 + 3x) - 15x = 84$
   2. $144\colon\bigl(11y + 4\frac{2}{3}\bigr) = 12$
   
   
   
3. Вычислите рациональным способом (2б):
   $385\cdot403 - 86\cdot403 + 299\cdot597$
   
   
4. Решите задачу (2б):
   На трёх полках $132$ книги, на второй полке втрое больше книг, чем на первой, а на третьей – на $8$ книг меньше, чем на второй. Сколько книг на третьей полке?
   
   
5. Решите задачу (2б):
   Ширина прямоугольника $12\text{ см}$, и она на $9\text{ см}$ больше длины. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника.
   
   
6. Дополнительные задания:
   1. (2б) $2$ робота за $3\text{ ч}$ собирают $1$ компьютер. Сколько компьютеров соберут $10$ роботов за $12\text{ ч}$?
   2. (2б) На $340$ рублей можно купить $10$ карандашей и $6$ ручек либо $2$ карандаша и $8$ ручек. Во сколько раз ручка дороже карандаша?
   3. (1б) Из числа $13579135791357913579$ вычеркните $10$ цифр так, чтобы оставшееся число было максимально возможным.
   
   
   

Решения задач

1. Выполните действия: $(16386 - 396)\colon78 + 402\cdot306$
   Решение:
   $16386 - 396 = 15990$
   $15990 : 78 = 205$
   $402 \cdot 306 = 402 \cdot 300 + 402 \cdot 6 = 120600 + 2412 = 123012$
   $205 + 123012 = 123217$
   Ответ: 123217.
   
   
2. Решите уравнение: $6\cdot(12 + 3x) - 15x = 84$
   Решение:
   $6 \cdot 12 + 6 \cdot 3x - 15x = 84$
   $72 + 18x - 15x = 84$
   $72 + 3x = 84$
   $3x = 12$
   $x = 4$
   Ответ: 4.
   
   
3. Вычислите рациональным способом: $385\cdot403 - 86\cdot403 + 299\cdot597$
   Решение:
   $(385 - 86) \cdot 403 + 299 \cdot 597 = 299 \cdot 403 + 299 \cdot 597 = 299 \cdot (403 + 597) = 299 \cdot 1000 = 299000$
   Ответ: 299 000.
   
   
4. Решите задачу: На трёх полках $132$ книги, на второй полке втрое больше книг, чем на первой, а на третьей — на $8$ книг меньше, чем на второй. Сколько книг на третьей полке?
   Решение:
   Пусть на первой полке $x$ книг. Тогда:
   $x + 3x + (3x - 8) = 132$
   $7x - 8 = 132$
   $7x = 140$
   $x = 20$
   На третьей полке: $3 \cdot 20 - 8 = 52$
   Ответ: 52.
   
   
5. Решите задачу: Ширина прямоугольника $12\text{ см}$, и она на $9\text{ см}$ больше длины. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника.
   Решение:
   Длина: $12 - 9 = 3$ см
   Площадь прямоугольника: $12 \cdot 3 = 36\text{ см}^2$
   Сторона квадрата: $\sqrt{36} = 6$ см
   Ответ: 6 см.
   
   Дополнительные задания:
   
   
6. (2б) $2$ робота за $3\text{ ч}$ собирают $1$ компьютер. Сколько компьютеров соберут $10$ роботов за $12\text{ ч}$?
   Решение:
   Производительность одного робота: $\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$ компьютера/час
   $10$ роботов за $12$ часов: $10 \cdot 12 \cdot \frac{1}{6} = 20$ компьютеров
   Ответ: 20.
   
   
7. (2б) На $340$ рублей можно купить $10$ карандашей и $6$ ручек либо $2$ карандаша и $8$ ручек. Во сколько раз ручка дороже карандаша?
   Решение:
   $\begin{cases}10k + 6p = 340 \\ 2k + 8p = 340 \end{cases} \quad$ Вычитаем из второго уравнения первое, умноженное на $5$:
   $34p = 1360 \Rightarrow p = 40$
   $2k + 8 \cdot 40 = 340 \Rightarrow k = 10$
   $\frac{p}{k} = \frac{40}{10} = 4$
   Ответ: в 4 раза.
   
   
8. (1б) Из числа $13579135791357913579$ вычеркните $10$ цифр так, чтобы оставшееся число было максимально возможным.
   Решение:
   Максимальное число сохраняет старшие цифры $9$: $9\,9\,9\,9\,9\,7\,9\,7\,9\,3$
   Ответ: 9999979793.