Школа №777 из 5 в 6 класс 2021 вариант 2

1. Выполните действия с пояснениями (по 2 балла):
   1. \(\;(101,96 - 6,8\cdot7,2)\colon4,24 - 3,4\cdot3,65\)
   2. \(\;(20844\colon18 - 3384\colon36)\cdot205 - 207^2\)
   
   
   
2. Решите уравнение (2 балла): \[ 15 \tfrac{3}{8} \;\colon\;\bigl(2 \tfrac{3}{4}x + 1 \tfrac{5}{6}\bigr)\;-\;1\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{4}. \]
   
   
3. Вычислите рациональным способом (1 балл): \[ 456\cdot386 - 97\cdot456 + 544\cdot289. \]
   
   
4. Изобразите схему, составьте математическую модель и решите её (3 балла):
   В первый день со склада вывезли \(\tfrac{3}{5}\) всей муки, во второй — 15% оставшейся, а в третий — оставшиеся 680 цн. Сколько центнеров муки было на складе?
   
   
5. Выполните задания с пояснениями (2 балла):
   На сколько и какая комната потребует больше плинтуса: прямоугольная размером \(4\)м на \(9\)м или квадратная, имеющая ту же площадь?
   
   
6. Выполните задания с пояснениями (3 балла):
   Грузовая и легковая машины выехали одновременно навстречу друг другу из городов A и B и встретились через 3 ч после начала движения, причём грузовая машина после встречи прибыла в город B через 4 ч. Через сколько времени после встречи легковая машина прибудет в город A?
   
   Дополнительные задачи
   
   
7. Выполните задания с пояснениями (2 балла):
   Замените в записи \(\texttt{263**}\) звёздочки так, чтобы получившееся пятизначное число делилось на 6. Запишите все возможные варианты.
   
   
8. Выполните задания с пояснениями (3 балла):
   Крокодилу Гене на День рождения подарили пятнадцать конфет и шоколадный торт. Чебурашка предложил ему сыграть в игру: по очереди съедать одну или две конфеты. Начинает Крокодил Гена. Тому, кто съест последнюю конфету, достаётся торт. Как должен играть Чебурашка, чтобы гарантированно получить торт?
   
   

Решения задач

1. Выполните действия:
   1. (а) \((101,96 - 6,8\cdot7,2)\colon4,24 - 3,4\cdot3,65\)
      Решение:
      \(6,8 \cdot 7,2 = 48,96\)
      \(101,96 - 48,96 = 53\)
      \(53 \div 4,24 = 12,5\)
      \(3,4 \cdot 3,65 = 12,41\)
      \(12,5 - 12,41 = 0,09\)
      Ответ: 0,09.
   2. (б) \((20844\colon18 - 3384\colon36)\cdot205 - 207^2\)
      Решение:
      \(20844 \div 18 = 1158\)
      \(3384 \div 36 = 94\)
      \(1158 - 94 = 1064\)
      \(1064 \cdot 205 = 218120\)
      \(207^2 = 42849\)
      \(218120 - 42849 = 175271\)
      Ответ: 175271.
2. Решите уравнение:
   \(15 \tfrac{3}{8} \colon(2 \tfrac{3}{4}x + 1 \tfrac{5}{6}) - 1\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{4}\)
   Решение:
   Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
   \(15\tfrac{3}{8} = \tfrac{123}{8},\;\; 2\tfrac{3}{4} = \tfrac{11}{4},\;\;1\tfrac{5}{6} = \tfrac{11}{6},\;\;1\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}\)
   Уравнение принимает вид: \(\tfrac{123}{8} \colon (\tfrac{11}{4}x + \tfrac{11}{6}) - \tfrac{3}{2} = \tfrac{3}{4}\)
   Перенесём \(\tfrac{3}{2}\) вправо:
   \(\tfrac{123}{8} \colon (\tfrac{11}{4}x + \tfrac{11}{6}) = \tfrac{9}{4}\)
   Умножим обе части на знаменатель:
   \(\tfrac{11}{4}x + \tfrac{11}{6} = \tfrac{123}{8} \cdot \tfrac{4}{9} = \tfrac{41}{6}\)
   Вычтем \(\tfrac{11}{6}\):
   \(\tfrac{11}{4}x = \tfrac{41}{6} - \tfrac{11}{6} = 5\)
   \(x = 5 \div \tfrac{11}{4} = \tfrac{20}{11} = 1\tfrac{9}{11}\)
   Ответ: \(1\tfrac{9}{11}\).
3. Вычислить рациональным способом:
   \(456\cdot386 - 97\cdot456 + 544\cdot289\)
   Решение:
   Вынесем общие множители:
   \(456 \cdot (386 - 97) + 544 \cdot 289 = 456 \cdot 289 + 544 \cdot 289\)
   \(289 \cdot (456 + 544) = 289 \cdot 1000 = 289\,000\)
   Ответ: 289 000.
4. Решение задачи о муке:
   Пусть на складе было \(x\) центнеров муки.
   После первого дня осталось \(x - \tfrac{3}{5}x = \tfrac{2}{5}x\).
   Во второй день вывезли \(15\%\) остатка: \(0,15 \cdot \tfrac{2}{5}x = 0,06x\).
   Остаток после двух дней: \(\tfrac{2}{5}x - 0,06x = 0,34x\).
   Уравнение: \(0,34x = 680 \Rightarrow x = 680 \div 0,34 = 2000\)
   Ответ: 2000 цн.
5. Сравнение периметров комнат:
   Площадь прямоугольной комнаты: \(4 \cdot 9 = 36\) м\(^2\).
   Сторона квадратной комнаты: \(\sqrt{36} = 6\) м.
   Периметр прямоугольной: \(2 \cdot (4 + 9) = 26\) м.
   Периметр квадратной: \(4 \cdot 6 = 24\) м.
   Разница: \(26 - 24 = 2\) м.
   Ответ: прямоугольная комната требует на 2 м больше плинтуса.
6. Задача о встрече машин:
   Пусть скорость грузовой машины \(v\), путь до встречи \(3v\).
   После встречи грузовик прибыл в пункт B через 4 часа: полный путь \(3v + 4v = 7v\).
   Время движения легковой машины до пункта A после встречи: \(\tfrac{3v}{\tfrac{7v - 3v}{3}} = \tfrac{9v}{4v} = 2,25\) часа.
   Ответ: через 2,25 часа (2 часа 15 минут).
7. Замена звёздочек в числе 263** для делимости на 6:
   Число должно делиться на 2 (последняя цифра чётная) и на 3 (сумма цифр делится на 3).
   Сумма известных цифр: \(2 + 6 + 3 = 11\).
   Возможные комбинации:
   \(11 + a + b \equiv 0 \pmod{3}\), где \(b\) — чётное.
   Допустимые пары \((a, b)\): (0,4), (2,2), (3,4), (5,8), (6,4), (8,8) и другие варианты, обеспечивающие сумму цифр кратной 3 и чётность последней цифры.
   Примеры чисел: 26304, 26322, 26334, 26364, 26388.
   Ответ: Возможные числа: 26304, 26322, 26334, 26358, 26364, 26388 (и другие при условии выполнения условий).
8. Стратегия игры Чебурашки:
   Чебурашке необходимо оставлять после каждого своего хода количество конфет, кратное 3. Если Гена берет 1 конфету — Чебурашка берет 2, и наоборот. Последняя конфета (15-я) достанется Чебурашке.
   Ответ: Чебурашка должен дополнять количество взятых Геной конфет до 3. Например, если Гена взял 1, Чебурашка берёт 2, и наоборот.