Школа №777 из 5 в 6 класс 2021 вариант 1

1. Выполните действия с пояснениями (по 2 балла):
   1. \(\;(4{,}6\cdot3{,}5 + 15{,}32)\colon20 \;+\; 1{,}48\colon0{,}148\)
   2. \(\;(16432\colon16 - 2184\colon42)\cdot107 - 203^2\)
   
   
   
2. Решите уравнение (2 балла): \[ 3\tfrac{1}{8}\;:\;\bigl(x - 4\tfrac{7}{24}\bigr)\;-\;1\tfrac{5}{6} \;=\;\tfrac{17}{18}. \]
   
   
3. Вычислите рациональным способом (1 балл): \[ 207\cdot504 - 207\cdot85 + 419\cdot793. \]
   
   
4. Изобразите схему, составьте математическую модель и решите её (3 балла):
   В первый день со склада вывезли \(\tfrac{2}{5}\) всей муки, во второй — 75% оставшейся, а в третий — оставшиеся 300 цн. Сколько центнеров муки было на складе?
   
   
5. Выполните задания с пояснениями (2 балла):
   На какой участок земли потребуется большая ограда: прямоугольный размером \(32\)м на \(2\)м или квадратный, имеющий ту же площадь?
   
   
6. Выполните задания с пояснениями (3 балла):
   Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за \(18\) ч \(40\) мин, а первая труба наполняет бассейн за \(40\) ч. За сколько часов наполняет бассейн вторая труба, работая одна?
   
   Дополнительные задачи
   
   
7. Выполните задания с пояснениями (2 балла):
   Замените в записи \(\texttt{152**}\) звёздочки таким образом, чтобы получившееся пятизначное число делилось на 6. Запишите все возможные варианты.
   
   
8. Выполните задания с пояснениями (3 балла):
   Крокодилу Гене на День рождения подарили девять конфет и шоколадный торт. Чебурашка предложил сыграть: по очереди съедать одну или две конфеты. Начинает Крокодил Гена. Тому, кто съест последнюю конфету, достаётся торт. Как должен играть Чебурашка, чтобы гарантированно получить торт?
   
   

Решения задач

1. 1. Выполните действия: \[ \;(4{,}6\cdot3{,}5 + 15{,}32)\colon20 \;+\; 1{,}48\colon0{,}148 \] Решение: Сначала вычислим выражение в скобках: \[ 4{,}6 \cdot 3{,}5 = 16{,}1;\quad 16{,}1 + 15{,}32 = 31{,}42 \] Далее разделим на 20: \[ 31{,}42 \div 20 = 1{,}571 \] Вычислим второе слагаемое: \[ 1{,}48 \div 0{,}148 = 10 \] Суммируем результаты: \[ 1{,}571 + 10 = 11{,}571 \] Ответ: 11,571.
   2. Выполните действия: \[ \;(16432\colon16 - 2184\colon42)\cdot107 - 203^2 \] Решение: Выполним деления: \[ 16432 \div 16 = 1027;\quad 2184 \div 42 = 52 \] Вычтем результаты: \[ 1027 - 52 = 975 \] Умножим на 107 и вычтем квадрат: \[ 975 \cdot 107 = 104325;\quad 104325 - 203^2 = 104325 - 41209 = 63116 \] Ответ: 63116.
2. Решите уравнение: \[ 3\tfrac{1}{8}\;:\;\bigl(x - 4\tfrac{7}{24}\bigr) - 1\tfrac{5}{6} = \tfrac{17}{18} \] Решение: Представим смешанные числа как дроби: \[ 3\tfrac{1}{8} = \tfrac{25}{8};\quad 4\tfrac{7}{24} = \tfrac{103}{24};\quad 1\tfrac{5}{6} = \tfrac{11}{6} \] Уравнение примет вид: \[ \tfrac{25}{8} \div \left(x - \tfrac{103}{24}\right) - \tfrac{11}{6} = \tfrac{17}{18} \] Перенесём \(\tfrac{11}{6}\): \[ \tfrac{25}{8} \div \left(x - \tfrac{103}{24}\right) = \tfrac{17}{18} + \tfrac{11}{6} = \tfrac{17 + 33}{18} = \tfrac{50}{18} = \tfrac{25}{9} \] Перепишем уравнение: \[ x - \tfrac{103}{24} = \tfrac{25}{8} \div \tfrac{25}{9} = \tfrac{9}{8} \] Решим для \(x\): \[ x = \tfrac{9}{8} + \tfrac{103}{24} = \tfrac{27}{24} + \tfrac{103}{24} = \tfrac{130}{24} = \tfrac{65}{12} = 5\tfrac{5}{12} \] Ответ: \(5\tfrac{5}{12}\).
3. Вычислите рациональным способом: \[ 207\cdot504 - 207\cdot85 + 419\cdot793 \] Решение: Вынесем общие множители: \[ 207 \cdot (504 - 85) + 419 \cdot 793 = 207 \cdot 419 + 419 \cdot 793 = 419 \cdot (207 + 793) = 419 \cdot 1000 = 419000 \] Ответ: 419000.
4. Математическая модель: Пусть всего муки \(x\) ц. Тогда: \[ \tfrac{2}{5}x \text{ вывезли в 1-й день, осталось } \tfrac{3}{5}x \] Во 2-й день вывезли: \[ 0{,}75 \cdot \tfrac{3}{5}x = \tfrac{9}{20}x \] Осталось: \[ \tfrac{3}{5}x - \tfrac{9}{20}x = \tfrac{12}{20}x - \tfrac{9}{20}x = \tfrac{3}{20}x = 300 \quad \Rightarrow \quad x = 300 \cdot \tfrac{20}{3} = 2000 \] Ответ: 2000 цн.
5. Сравнение оград: \[ \text{Площадь прямоугольника: } 32 \cdot 2 = 64 \text{ м²} \] Сторона квадрата: \[ \sqrt{64} = 8 \text{ м} \] Периметры: \[ P_{\text{прям}} = 2(32 + 2) = 68 \text{ м};\quad P_{\text{кв}} = 4 \cdot 8 = 32 \text{ м} \] Ответ: Большая ограда потребуется для прямоугольного участка.
6. Заполнение бассейна трубами: Совместная скорость: \[ \tfrac{1}{40} + \tfrac{1}{x} = \tfrac{3}{56} \quad \Rightarrow \quad \tfrac{1}{x} = \tfrac{3}{56} - \tfrac{1}{40} = \tfrac{15 - 7}{280} = \tfrac{8}{280} = \tfrac{1}{35} \quad \Rightarrow \quad x = 35 \] Ответ: 35 часов.
7. Варианты чисел \(\texttt{152**}\): Условия делимости на 6:
   • Последняя цифра чётная (*Y* ∈ \{0, 2, 4, 6, 8\})
   • Сумма цифр кратна 3: \(1 + 5 + 2 + X + Y\) кратна 3 ⇒ \(X + Y\) ≡ 1 mod 3
   Все возможные значения (примеры): \[ 15204,\;15210,\;15216,\;15222,\;15228,\;15234,\;15240,\;15246,\;15252,\;15258,\;15264,\;15270,\;15276,\;15282,\;15288,\;15294 \] Ответ: Всего 16 вариантов: последние две цифры должны быть такие, чтобы их сумма с остальными цифрами давала число, кратное 3, а последняя цифра чётная.
8. Стратегия Чебурашки: Ответ: Чебурашка должен после каждого своего хода оставлять количество конфет, кратное 3. Например, если Гена берёт 1 конфету, Чебурашка берёт 2, и наоборот. Последний ход останется Чебурашке.