Школа №777 из 5 в 6 класс 2019 год вариант 1-2

1. Выполните действия (4 балла):
   1. \(506 \cdot 260 - \bigl(12\,362 + 14\,592 : 24\bigr)\)
   2. \(35,26 + 260 \cdot 0,01 - \bigl(7 - 7,904 : 2,6\bigr)\cdot3,5\)
   
   
   
2. Решите уравнения (4 балла):
   1. \(3\cdot(8 + 2x) - 4x = 50\)
   2. \(\bigl(8\!\tfrac25 : x + 3\!\tfrac59\bigr)\colon4\!\tfrac16 = 1\!\tfrac13\)
   
   
   
3. Вычислите рациональным способом (2 балла):
   \[ 308\cdot85 - 308\cdot68 + 192\cdot17 \]
   
   
4. Решите задачу (2 балла):
   На трёх полках \(130\) книг. На второй полке вдвое больше книг, чем на первой, а на третьей – на \(10\) книг меньше, чем на второй. Сколько книг стоит на третьей полке?
   
   
5. Решите задачу (2 балла):
   Прямоугольник разрезали на три одинаковых квадрата, сумма периметров которых \(60\) см. Найдите площадь и периметр исходного прямоугольника.
   
   
6. (2 балла) Заяц и Волк устроили соревнование: кто быстрее пробежит до вершины горы и вернётся обратно. Волк бежит в гору и с горы с одинаковой скоростью, а Заяц – в гору в 2 раза медленнее Волка, зато с горы – в 2 раза быстрее. Кто из них победит?
   
   
7. (2 балла) Десять слив имеют такую же массу, как три яблока и одна груша, а шесть слив и одно яблоко – как одна груша. Сколько слив нужно взять, чтобы их масса была равна массе одной груши?
   
   
8. (2 балла) Одно трёхзначное число записано цифрами 3, 1 и 5, другое – 7, 8 и 2. Расположите в каждом числе цифры таким образом, чтобы произведение этих чисел было:
   1. наибольшим;
   2. наименьшим.
   
   
   

Решения задач

1. Выполните действия:
   1. (а) \(506 \cdot 260 - \bigl(12\,362 + 14\,592 : 24\bigr)\)
      Решение:
      $506 \cdot 260 = (500 \cdot 260) + (6 \cdot 260) = 130\,000 + 1\,560 = 131\,560$
      $14\,592 : 24 = 608$
      $12\,362 + 608 = 12\,970$
      $131\,560 - 12\,970 = 118\,590$
      Ответ: $118\,590$.
      
      
   2. (б) \(35,26 + 260 \cdot 0,01 - \bigl(7 - 7,904 : 2,6\bigr)\cdot3,5\)
      Решение:
      $260 \cdot 0,01 = 2,6$
      $7,904 : 2,6 = 3,04$
      $7 - 3,04 = 3,96$
      $3,96 \cdot 3,5 = 13,86$
      $35,26 + 2,6 - 13,86 = 37,86 - 13,86 = 24$
      Ответ: 24.
   
   
   
2. Решите уравнения:
   1. (а) \(3\cdot(8 + 2x) - 4x = 50\)
      Решение:
      $24 + 6x - 4x = 50$
      $24 + 2x = 50$
      $2x = 26$
      $x = 13$
      Ответ: 13.
      
      
   2. (б) \(\bigl(8\!\tfrac25 : x + 3\!\tfrac59\bigr)\colon4\!\tfrac16 = 1\!\tfrac13\)
      Решение:
      $\frac{42}{5x} + \frac{32}{9} = \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{6} = \frac{50}{9}$
      $\frac{42}{5x} = \frac{50}{9} - \frac{32}{9} = 2$
      $5x = \frac{42}{2} = 21 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{21}{5} = 4,2$
      Ответ: 4,2.
   
   
   
3. Вычислите рациональным способом: \[ 308\cdot85 - 308\cdot68 + 192\cdot17 \]
   Решение:
   $308 \cdot (85 - 68) + 192 \cdot 17 = 308 \cdot 17 + 192 \cdot 17 = 17 \cdot (308 + 192) = 17 \cdot 500 = 8\,500$
   Ответ: $8\,500$.
   
   
4. Решите задачу:
   На трёх полках \(130\) книг. На второй полке вдвое больше книг, чем на первой, а на третьей – на \(10\) книг меньше, чем на второй. Сколько книг стоит на третьей полке?
   Решение:
   Пусть на первой полке $x$ книг. Тогда:
   $x + 2x + (2x - 10) = 130 \quad \Rightarrow \quad 5x = 140 \quad \Rightarrow \quad x = 28$
   На третьей полке: $2 \cdot 28 - 10 = 46$
   Ответ: 46.
   
   
5. Решите задачу:
   Прямоугольник разрезали на три одинаковых квадрата, сумма периметров которых $60$ см. Найдите площадь и периметр исходного прямоугольника.
   Решение:
   Периметр одного квадрата: $\frac{60}{3} = 20$ см. Сторона квадрата: $5$ см.
   Размеры прямоугольника: $5 \times 15$ см.
   Периметр: $2 \cdot (5 + 15) = 40$ см. Площадь: $5 \cdot 15 = 75$ см².
   Ответ: 75 см², 40 см.
   
   
6. Решите задачу:
   Заяц и Волк устроили соревнование. Кто из них победит?
   Решение:
   Пусть скорость Волка $v$, тогда время Волка: $\frac{2D}{v}$.
   Время Зайца: $\frac{D}{0,5v} + \frac{D}{2v} = \frac{2D}{v} + \frac{D}{2v} = \frac{5D}{2v}$.
   $\frac{2D}{v} < \frac{5D}{2v} \quad \Rightarrow$ Волк победит.
   Ответ: Волк.
   
   
7. Решите задачу:
   Сколько слив нужно взять, чтобы их масса была равна массе одной груши?
   Решение:
   Система уравнений:
   $\begin{cases}10c = 3a + g \\6c + a = g\end{cases} \quad \Rightarrow \quad a = c \quad \Rightarrow \quad g = 7c$
   Ответ: 7 слив.
   
   
8. Решите задачу:
   Расположите цифры для наибольшего и наименьшего произведения.
   Решение:
   1. Для наибольшего произведения: числа 531 и 872.
      Произведение: $531 \cdot 872$.
   2. Для наименьшего произведения: числа 135 и 278.
      Произведение: $135 \cdot 278$.
   
   Ответ: а) 531 и 872; б) 135 и 278.