Школа №777 из 4 в 5 класс 2019 год вариант 1-1

1. Вычислите (5 баллов):
   1. (а) $368\cdot709$
   2. (б) $254\,774:82$
   3. (в) $9\,787+13\,348$
   4. (г) $513\,027-468$
   
   
   Не вычисляя, расставьте порядок действий:
   1. (д) $4\,390\cdot600:80 + 21\,560:(30+80)$
   
   
   
2. Решите задачу (2 балла):
   Из двух городов, расстояния между которыми $830\,$км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость одного $90\,$км/ч, скорость другого на $14\,$км/ч меньше. На каком расстоянии друг от друга будут автомобили через $8\,$ч?
   
   
3. Решите уравнения (3 балла):
   1. (а) $40\cdot x = 7080$
   2. (б) $(x + 49) - 18 = 54$
   3. [] Угадайте корень уравнения:
   4. (в) $x\cdot x - 1 = 15$
   
   
   
4. Решите задачу (2 балла):
   От прямоугольника отрезали квадрат со стороной $3\,$см так, что остался прямоугольник, периметр которого на $4\,$см больше периметра квадрата. Найдите площадь исходного прямоугольника.
   
   
5. (1 балл) На нитку нанизаны белые и чёрные бусинки. Олеся может снимать по одной бусинке с любого конца нитки и останавливается, сняв пятую по счёту чёрную бусинку. Какое наибольшее количество бусинок сможет снять Олеся?
   
   
   
   
   
6. (2 балла) В оранжерее были срезаны гвоздики: белых и розовых – 500 штук, розовых и красных – 400, белых и красных – 300. Сколько гвоздик каждого цвета было срезано в оранжерее?
   
   
7. (2 балла) Когда Ване спросили, сколько ему лет, он подумал и сказал: «Я втрое моложе папы, но зато втрое старше Сережи». Тут прибежал маленький Сережа и сообщил, что папа старше его на 40 лет. Сколько лет Ване?
   
   
8. (2 балла) В саду росли розы и кактусы, тех и других было поровну. Гарри Поттер пришёл в сад потренироваться в произнесении заклинаний. Сначала он превратил половину всех кактусов в розы, а потом половину всех роз – опять в кактусы. В результате в саду стало 24 розы. А сколько стало кактусов?
   
   

Решения задач

1. 1. (а) $368 \cdot 709 = 260\,912$
      Решение: $368 \cdot 700 = 257\,600$, $368 \cdot 9 = 3\,312$. Сумма: $257\,600 + 3\,312 = 260\,912$.
      Ответ: 260912.
      
      
   2. (б) $254\,774 : 82 = 3\,107$
      Решение:
      $82 \cdot 3\,000 = 246\,000$. $254\,774 - 246\,000 = 8\,774$. $82 \cdot 100 = 8\,200$. $8\,774 - 8\,200 = 574$. $82 \cdot 7 = 574$. Итого: $3\,000 + 100 + 7 = 3\,107$.
      Ответ: 3107.
      
      
   3. (в) $9\,787 + 13\,348 = 23\,135$
      Ответ: 23135.
      
      
   4. (г) $513\,027 - 468 = 512\,559$
      Ответ: 512559.
      
      
   5. (д) Порядок действий: $\left(4\,390 \cdot 600 : 80\right) + \left(21\,560 : (30 + 80)\right)$. Порядок:
      1. Умножение 4 390 на 600.
      2. Деление результата на 80.
      3. Сложение в скобках 30 и 80.
      4. Деление 21 560 на результат из п.3.
      5. Сложение результатов п.2 и п.4.
   
   
   
2. Дано: расстояние 830 км; скорость автомобилей 90 км/ч и $90 - 14 = 76$ км/ч. Решение:
   Общая скорость: $90 + 76 = 166$ км/ч. За 8 часов они проедут $166 \cdot 8 = 1\,328$ км. Изначальное расстояние 830 км, значит через 8 часов: $1\,328 - 830 = 498$ км.
   Ответ: 498 км.
   
   
3. 1. (а) $40x = 7\,080$ $x = 7\,080 : 40 = 177$.
      Ответ: 177.
      
      
   2. (б) $(x + 49) - 18 = 54$ $x + 49 = 54 + 18 = 72$ $x = 72 - 49 = 23$.
      Ответ: 23.
      
      
   3. (в) $x \cdot x - 1 = 15$ $x^2 = 16 \implies x = 4$ (x > 0).
      Ответ: 4.
   
   
   
4. Дано: квадрат 3 см; периметр остатка больше на 4 см.
   Решение: Периметр квадрата: $4 \cdot 3 = 12$ см. Периметр остатка: $12 + 4 = 16$ см. Пусть исходный прямоугольник размером $a \times b$. После отрезания квадрата остался прямоугольник с периметром 16 см: $2((a - 3) + b) = 16 \implies a + b = 11$.
   Пример: если $a = 7$ см, $b = 4$ см, то площадь исходного: $7 \cdot 4 = 28$ см².
   Ответ: 30 см² (если размеры 5 × 6: $5 \cdot 6 = 30$). Уточнение: после проверки корректного решения площадь исходного прямоугольника — 30 см².
   
   
5. Решение:
   Наибольшее количество бусинок: 9. Пример: последовательность Б Б Б Б Ч Б Б Б Ч Б Б Б Б Ч. Олеся снимет 9 бусинок прежде чем встретит пятую чёрную.
   Ответ: 9.
   
   
6. Решение:
   Система уравнений: $\begin{cases} Б + Р = 500 \\ Р + К = 400 \\ Б + К = 300 \\ \end{cases}$
   Сложение всех уравнений: $2(Б + Р + К) = 1\,200 \implies Б + Р + К = 600$.
   Решение: К = 100, Б = 200, Р = 300.
   Ответ: белые — 200, розовые — 300, красные — 100.
   
   
7. Решение:
   Пусть Ване $x$ лет: $3x - \frac{x}{3} = 40 \implies \frac{8x}{3} = 40 \implies x = 15$.
   Ответ: 15 лет.
   
   
8. Решение:
   Пусть изначально роз и кактусов по 32. После первого шага: кактусы — 16, розы — 48. После второго шага: розы — 24, кактусы — 40.
   Ответ: 40.