8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2023 год вариант 1-3

Сложность:
Дата экзамена: 2023
Сложность:
Дата экзамена: 2023
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2023 год




  1. Вычислить:
    а) \( \dfrac{363 \cdot 152}{184 \cdot 103} \); б) \( \dfrac{348 - 347 + 17 \cdot 346}{2715 \cdot 23} \)

  2. Решите уравнение: \[ \dfrac{|\!x\!| - 1}{4} = \dfrac{7 - 3|\!x\!|}{10} - \dfrac{4|\!x\!| - 1}{5} \]

  3. Упростите выражение: \[ (5x + y)(y - 5x) - (3x - y)^2 + (30x - 6y)(x + 1) \]

  4. Предприниматель купил акции и через год продал их по новой стоимости, получив прибыль, причём полученная сумма составила 11 500 р. Сколько акций было куплено предпринимателем, если прибыль от продажи каждой акции составила 15 % и оказалась равной 150 р?

  5. Скорость судна в стоячей воде — 15 км/ч. На путь от A до B против течения реки оно тратит 0,5 ч, а на обратный путь — 15 мин. Сколько процентов от скорости судна в стоячей воде составляет скорость реки?

  6. Докажите, что число \( 1000^{1000} - 1 \) является составным. Укажите не менее пяти его делителей.

  7. Упростить выражение: \[ \left( \dfrac{a}{b^2 + ab} - \dfrac{a - b}{a^2 + ab} \right) : \left( \dfrac{b^2}{a^3 - ab^2} + \dfrac{1}{a + b} \right) \]

  8. При пересечении двух прямых отношение двух из образовавшихся углов равно 5:4. Найдите меры всех неразвёрнутых углов при пересечении этих прямых.

  9. На сторонах \( AB \) и \( AC \) треугольника \( ABC \) отмечены соответственно точки \( M \) и \( N \), так что \( \angle MDB = \angle NDB \). Найдите градусную меру угла \( \angle MNC \), если \( \angle ACB = 70^\circ \).

  10. Отрезок \( BD \) — биссектриса равнобедренного треугольника \( ABC \) с основанием \( AC \). На сторонах \( AB \) и \( BC \) отмечены соответственно точки \( M \) и \( N \), так что \( \angle MDA = \angle NDC \). Докажите, что \( MA = NC \).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Вычислить: \( \dfrac{363 \cdot 152}{184 \cdot 103} \)
      Решение: Разложим числа на множители:
      \( 363 = 3 \cdot 11^2 \), \( 152 = 8 \cdot 19 \), \( 184 = 8 \cdot 23 \), \( 103 \) — простое.
      Сократим общие множители:
      \( \dfrac{363 \cdot 152}{184 \cdot 103} = \dfrac{3 \cdot 11^2 \cdot 8 \cdot 19}{8 \cdot 23 \cdot 103} = \dfrac{3 \cdot 11^2 \cdot 19}{23 \cdot 103} = \dfrac{6897}{2369} \)
      Ответ: \( \dfrac{6897}{2369} \).

    2. Вычислить: \( \dfrac{348 - 347 + 17 \cdot 346}{2715 \cdot 23} \)
      Решение: Упростим числитель:
      \( 348 - 347 = 1 \), \( 17 \cdot 346 = 5882 \), сумма: \( 1 + 5882 = 5883 \)
      Знаменатель: \( 2715 \cdot 23 = 62445 \)
      Сократим НОД(5883, 62445) = 3:
      \( \dfrac{5883}{62445} = \dfrac{1961}{20815} \)
      Ответ: \( \dfrac{1961}{20815} \).


  2. Решите уравнение: \( \dfrac{|\!x\!| - 1}{4} = \dfrac{7 - 3|\!x\!|}{10} - \dfrac{4|\!x\!| - 1}{5} \)
    Решение: Умножим обе части на 20:
    \( 5(|\!x\!| - 1) = 2(7 - 3|\!x\!|) - 4(4|\!x\!| - 1) \)
    Раскроем скобки:
    \( 5|\!x\!| - 5 = 14 - 6|\!x\!| - 16|\!x\!| + 4 \)
    Соберем подобные:
    \( 5|\!x\!| - 5 = 18 - 22|\!x\!| \)
    \( 27|\!x\!| = 23 \)
    \( |\!x\!| = \dfrac{23}{27} \)
    Ответ: \( x = \pm \dfrac{23}{27} \).

  3. Упростите выражение: \( (5x + y)(y - 5x) - (3x - y)^2 + (30x - 6y)(x + 1) \)
    Решение: Раскроем каждое слагаемое:
    \( (5x + y)(y - 5x) = y^2 - 25x^2 \)
    \( -(3x - y)^2 = -9x^2 + 6xy - y^2 \)
    \( (30x - 6y)(x + 1) = 30x^2 + 30x - 6xy - 6y \)
    Сложим все части:
    \( y^2 - 25x^2 - 9x^2 + 6xy - y^2 + 30x^2 + 30x - 6xy - 6y = -4x^2 + 30x - 6y \)
    Ответ: \( -4x^2 + 30x - 6y \).

  4. Предприниматель купил акции и получил прибыль 150 р. с каждой, что составило 15\%. Общая сумма продажи — 11 500 р. Найдем количество акций:
    Решение: Себестоимость одной акции: \( \dfrac{150}{0,15} = 1000 \) р.
    Цена продажи: \( 1000 + 150 = 1150 \) р.
    Количество акций: \( \dfrac{11500}{1150} = 10 \)
    Ответ: 10 акций.

  5. Скорость судна в стоячей воде — 15 км/ч. Пусть скорость течения \( v \) км/ч. Расстояние:
    \( (15 - v) \cdot 0,5 = (15 + v) \cdot 0,25 \)
    Решение:
    \( 0,5(15 - v) = 0,25(15 + v) \)
    \( 30 - 2v = 15 + v \)
    \( 3v = 15 \)
    \( v = 5 \) км/ч
    Процент от скорости судна: \( \dfrac{5}{15} \cdot 100% = 33\dfrac{1}{3}% \)
    Ответ: \( 33\dfrac{1}{3}% \).

  6. Доказать, что \( 1000^{1000} - 1 \) составное. Укажем делители:
    Решение: \( 1000^{1000} - 1 = (10^3)^{1000} - 1 = 10^{3000} - 1 \)
    Число вида \( a^n - 1 \) делится на \( a - 1 \). Здесь \( a = 10 \), \( n = 1000 \), значит делители: 9, 99, 999, 9999, 99999 и т.д.
    Ответ: Делители: 9, 99, 999, 9999, 99999.

  7. Упростить выражение: \[ \left( \dfrac{a}{b^2 + ab} - \dfrac{a - b}{a^2 + ab} \right) : \left( \dfrac{b^2}{a^3 - ab^2} + \dfrac{1}{a + b} \right) \]
    Решение: Упростим числитель и знаменатель:
    Числитель: \( \dfrac{a^2 - ab + b^2}{ab(a + b)} \)
    Знаменатель: \( \dfrac{a^2 - ab + b^2}{a(a - b)(a + b)} \)
    Результат деления: \( \dfrac{a - b}{b} \)
    Ответ: \( \dfrac{a - b}{b} \).

  8. При пересечении двух прямых отношение углов 5:4. Найдем углы:
    Решение: Пусть углы \( 5x \) и \( 4x \). Сумма смежных углов:
    \( 5x + 4x = 180^\circ \)
    \( x = 20^\circ \)
    Ответ: \( 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ, 80^\circ \).

  9. Задача требует уточнения условий из-за отсутствия рисунка.

  10. Доказать \( MA = NC \) в равнобедренном треугольнике с биссектрисой \( BD \):
    Решение: Используем равенство углов \( \angle MDA = \angle NDC \) и свойства биссектрисы. Треугольники \( MDA \) и \( NDC \) равны по признаку ASA, следовательно \( MA = NC \).
Материалы школы Юайти