8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2023 год вариант 1-2

Сложность:
Дата экзамена: 2023
Сложность:
Дата экзамена: 2023
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2023 год




  1. Упростите выражение: \[ \frac{(a^7)^5 \cdot (a^4)^5}{a^{-55 + 55}} \div (a^{56} - a^{55}) \] и найдите значение выражения при \( a = -4 \).

  2. В кафе обед стоит 450 рублей. Стоимость супа составляет 20% от стоимости обеда, а стоимость второго блюда на 40% больше стоимости десерта. Найдите стоимость десерта.

  3. Решите уравнение: \[ x^2(4x - 3) - 36x + 27 = 0 \]

  4. Баржа прошла из пункта A в пункт B против течения реки и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость баржи в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, а время, затраченное на путь по течению, равно 9 ч.

  5. Число \( a \) при делении на 5 даёт остаток 2. Найдите остаток от деления выражения \( a^2 - 6a + 3 \) на 5.

  6. Точка D на стороне AC треугольника ABC выбрана так, что \( AB = AD \). Известно, что \( \angle CAB = 70^\circ \), \( \angle ACB = 29^\circ \). Найдите угол \( \angle DBC \).

  7. В квартире полы в ванной и на кухне надо вымостить плиткой размером 0,5 м × 0,5 м. Площадь кухни равна 18 м², а площадь ванной — 5 м². Какое количество упаковок плитки необходимо купить, чтобы вымостить одной и той же плиткой кухню и ванную, если одна упаковка содержит 6 плиток?

  8. Решите уравнение: \[ \left| \frac{x - 3}{4} \right| - \frac{7}{5} = 1 \]

  9. Определите, на какую цифру оканчивается число \( 67^{2023} \).

  10. Два треугольника ABC и ACD имеют общую сторону AC. Найдите периметр четырёхугольника ABCD, если известно, что \( \angle B = \angle D \), \( AB = 10 \, \text{см} \), \( BC = 6 \, \text{см} \), \( AC = 5 \, \text{см} \), и \( BC \parallel AD \).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \frac{(a^7)^5 \cdot (a^4)^5}{a^{-55 + 55}} \div (a^{56} - a^{55}) \] и найдите значение выражения при \( a = -4 \).
    Решение: Упростим выражение: \[ \frac{a^{35} \cdot a^{20}}{a^0} \div (a^{55}(a - 1)) = \frac{a^{55}}{1} \div (a^{55}(a - 1)) = \frac{1}{a - 1} \] Подставляя \( a = -4 \): \[ \frac{1}{-4 - 1} = -\frac{1}{5} = -0{,}2 \] Ответ: \(-0{,}2\).

  2. В кафе обед стоит 450 рублей. Стоимость супа составляет 20% от стоимости обеда, а стоимость второго блюда на 40% больше стоимости десерта. Найдите стоимость десерта.
    Решение: Стоимость супа: \[ 450 \cdot 0{,}2 = 90 \text{ руб.} \] Оставшаяся сумма: \[ 450 - 90 = 360 \text{ руб.} \] Пусть стоимость десерта \( x \), тогда второе блюдо \( 1{,}4x \): \[ x + 1{,}4x = 360 \quad \Rightarrow \quad 2{,}4x = 360 \quad \Rightarrow \quad x = 150 \text{ руб.} \] Ответ: 150 руб.

  3. Решите уравнение: \[ x^2(4x - 3) - 36x + 27 = 0 \]
    Решение: Группируем слагаемые: \[ (4x - 3)(x^2 - 9) = 0 \quad \Rightarrow \quad (4x - 3)(x - 3)(x + 3) = 0 \] Корни: \[ x = \frac{3}{4}, \quad x = 3, \quad x = -3 \] Ответ: \(-3; \ 0{,}75; \ 3\).

  4. Баржа прошла из пункта A в пункт B против течения реки и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость баржи в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, а время, затраченное на путь по течению, равно 9 ч.
    Решение: Пусть скорость баржи \( x \) км/ч. Расстояние \( S \): \[ S = 9(x + 1) \] Время против течения: \[ \frac{S}{x - 1} = 9 + 2 = 11 \quad \Rightarrow \quad 9(x + 1) = 11(x - 1) \] Решаем уравнение: \[ 9x + 9 = 11x - 11 \quad \Rightarrow \quad 2x = 20 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \text{ км/ч} \] Ответ: 10 км/ч.

  5. Число \( a \) при делении на 5 даёт остаток 2. Найдите остаток от деления выражения \( a^2 - 6a + 3 \) на 5.
    Решение: \( a = 5k + 2 \). Подставляем: \[ (5k + 2)^2 - 6(5k + 2) + 3 = 25k^2 + 20k + 4 - 30k - 12 + 3 = 25k^2 - 10k - 5 \] Все слагаемые кратны 5, остаток \( 0 \). Ответ: 0.

  6. Точка D на стороне AC треугольника ABC выбрана так, что \( AB = AD \). Известно, что \( \angle CAB = 70^\circ \), \( \angle ACB = 29^\circ \). Найдите угол \( \angle DBC \).
    Решение: В треугольнике \( ABC \): \[ \angle ABC = 180^\circ - 70^\circ - 29^\circ = 81^\circ \] В равнобедренном треугольнике \( ABD \): \[ \angle ABD = \angle ADB = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = 55^\circ \] Тогда: \[ \angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 81^\circ - 55^\circ = 26^\circ \] Ответ: \( 26^\circ \).

  7. В квартире полы в ванной и на кухне надо вымостить плиткой размером 0{,}5 м × 0{,}5 м. Площадь кухни равна 18 м², а площадь ванной — 5 м². Какое количество упаковок плитки необходимо купить, чтобы вымостить одной и той же плиткой кухню и ванную, если одна упаковка содержит 6 плиток?
    Решение: Площадь одной плитки: \[ 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \text{ м²} \] Количество плиток: \[ \frac{18 + 5}{0{,}25} = 92 \text{ плитки} \] Количество упаковок: \[ \frac{92}{6} \approx 15{,}33 \quad \Rightarrow \quad 16 \text{ упаковок} \] Ответ: 16.

  8. Решите уравнение: \[ \left| \frac{x - 3}{4} \right| - \frac{7}{5} = 1 \]
    Решение: Переносим \(\frac{7}{5}\): \[ \left| \frac{x - 3}{4} \right| = \frac{12}{5} \] Раскрываем модуль: \[ \frac{x - 3}{4} = \frac{12}{5} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{63}{5} = 12{,}6 \] или \[ \frac{x - 3}{4} = -\frac{12}{5} \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{33}{5} = -6{,}6 \] Ответ: \(-6{,}6; \ 12{,}6\).

  9. Определите, на какую цифру оканчивается число \( 67^{2023} \).
    Решение: Последняя цифра 7. Цикл последних цифр для 7: 7, 9, 3, 1 (период 4). \[ 2023 \mod 4 = 3 \quad \Rightarrow \quad \text{третья цифра цикла: } 3 \] Ответ: 3.

  10. Два треугольника ABC и ACD имеют общую сторону AC. Найдите периметр четырёхугольника ABCD, если известно, что \( \angle B = \angle D \), \( AB = 10 \, \text{см} \), \( BC = 6 \, \text{см} \), \( AC = 5 \, \text{см} \), и \( BC \parallel AD \).
    Решение: Из параллельности \( BC \parallel AD \) и равенства углов \( \angle B = \angle D \) следует, что \( ABCD \) — параллелограмм. Тогда: \[ AD = BC = 6 \text{ см}, \quad CD = AB = 10 \text{ см} \] Периметр: \[ AB + BC + CD + DA = 10 + 6 + 10 + 6 = 32 \text{ см} \] Ответ: 32 см.
Материалы школы Юайти